Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.07.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
где спектральная плотность sn (со) представляется в виде ее ана литической структуры и, следовательно, содержит в себе неизвест ный многомерный параметр. Для определенности будем считать,
что q,;- = |
(ах, |
. |
. ., |
ar) |
— неизвестный |
параметр |
спектральной |
|
плотности |
Sjj (со) |
и |
ат£. |
Ат—область |
допустимого |
изменения |
||
параметра |
ат |
(in — |
1, |
г]. |
|
|
|
|
Найдем минимальное значение функционала (II.9) |
Vm по всем |
|||||||
значениям ат£_ А,п |
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
Vm |
< |
е, |
где |
е > 0 — заданное число, |
характеризу |
||
ющее допустимую точность в определении параметров, |
входящих |
|||||||
в спектральную плотность s{/- (со), и пусть |
Vm достигается при зна |
|||||||
чениях параметров ат |
= |
Ьт. Тогда наилучшими оценками в смысле |
среднего квадратического для неизвестных параметров спектраль ной плотности будут значения ат = Ьт (т = 1, г).
Пусть Vm > е. Тогда либо допустимая точность в определении параметров завышена, либо время наблюдения Т мало. Если точность уменьшить нельзя, следует увеличить время наблюдения.
Отметим следующие особенности алгоритма.
1. Алгоритм вычисления упрощается, если аналитическая структура спектральной плотности s,.;- (со) определена так, что
интеграл |
J sn- |
(со) с/со вычисляется аналитически. |
|
2. То, |
(0, |
в ' алгоритме промежутки частот |
(.со,-, со1 + 1 ), |
что |
|||
(coy, соу-+1) ({ =f }) |
не пересекаются, не является принципиальным. |
||
Основным преимуществом данного метода является |
рекуррент |
ность процедур вычисления относительно массивов статистических данных. Вместе с тем, в памяти ЦВМ требуется хранить массив
величин F (v, coft, со^) (k |
= 1, ./V). |
|
|
Другим |
методом оценки |
спектральной плотности |
s(/- (со), при |
меняющим |
преобразование |
Фурье к реализации |
измеряемого |
процесса X (t), является метод периодограмм, согласно которому при последовательной обработке массивов статистических данных
на каждом массиве |
Rx |
(Я = |
1, Л) требуется вычислить |
статистику |
|
|
|
тх |
тх |
|
|
t l x Й |
= |
~ k r J |
е "''ш 'х < Wd t 1 |
& d s ' |
<п- 1 0 ) |
|
|
TX-i |
TX-i |
|
|
являющуюся асимптотически несмещенной, но не состоятельной оценкой для спектральной плотности [24].
Оценка |
(11.10) |
получена дифференцированием оценки |
(П.6) |
тю частоте |
со2 . В |
[11] указывается на недопустимость |
такой |
процедуры, там же приведены примеры, при которых оценка (11.10) не дает должного результата. Однако оценкой (11.10) широко пользуются [24]. Для улучшения статистики (11.10) используются весовые функции w (со).
45
Обозначим
''1 Я=1
Тогда в качестве оценки спектральной плотности s(/- (со) пред лагается взять оценку [24]
|
s ir/ И |
= |
I а; (со — |
сох) / |
•/ К ) |
d(o b |
||
где весовыми функциями |
являются: |
|
|
|||||
для |
«усеченной |
оценки» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
s m - |
|
|
|
|
|
|
до (со) |
•• |
|
|
||
для |
видоизмененной |
оценки |
Бартлетта |
|
||||
w И |
= nJm |
i ( т + ^ |
) и ~ |
( r - |
T |
J 1 0 |
c o s c o ^ + 2 s i n w ^ ) ; |
|
для |
оценки Хэмминга |
|
|
|
|
|
||
|
до (со) |
= 0,54 smaTx |
0,46 |
со sin со 7\ |
||||
|
|
2 л |
о |
|
2л |
|
|
Заметим, что данный метод эквивалентен предыдущему в смысле требований, предъявляемых к памяти ЦВМ.
Метод неканонических разложений процессов при оценке спек тральных плотностей. Неканонические разложения стационар ного процесса X,- (t) определяются разложением (1.41)
Xt (1) = ml + vu cos (Hjt -f- vu sin со/ . •
Заметим, что при рассмотрении одномерного стационарного процесса число случайных величин, входящих в неканоническое разложение, может быть сокращено до двух [31 ] : v u = vn.
Нетрудно видеть, что процессы XL (t), Xj (t) являются ста ционарно связанными в том и только в том случае, если выпол няются следующие условия
|
|
МьиУц = |
Mv2iVojt |
|
|
МьииЛ1 = 0, М^ьц — О I |
(11.11) |
||
с |
вероятностью 1 |
(»' Ф /), |
|
|
|
|
|
||
|
|
со. = щ/ = |
а>. |
( П . 12) |
|
Для стационарных |
и стационарно связанных процессов Xt (t), |
||
Xj |
(t) корреляционная |
функция |
|
|
|
К и (г) = MvuvuM |
cos сот. |
(П.13) |
46
Значения моментов mlt Кц (0) вычисляются в ЦВМ по форму
лам |
(П.З). |
|
|
|
|
|
|
Аналогично соотношению (1-42) имеет место более общее соот |
|||||||
ношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sti(<*) = |
Ku(0)p(<o) |
(i, / |
= |
177), |
(11.14) |
где |
р (со) — |
плотность |
распределения |
случайной |
величины со, |
||
обладающая |
свойством |
четности |
р (со) = |
р (—со), |
при этом |
||
|
|
р(со) |
2 я а 7 / 1* |
КцЮ е |
|
асо. |
(11.15) |
Из условия (11.14) следует, что аналитическая структура спек тральной плотности stj (со) определяется аналитической струк
турой |
плотности |
распределения |
р (со). |
|
||||||||||
Рассмотрим аналитическую структуру наиболее часто встре |
||||||||||||||
чающихся |
плотностей |
распределения, |
удовлетворяющих усло |
|||||||||||
вию |
(11.15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Нормальное |
распределение |
|
|
(0 = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р (со) = У 2л. а |
|
(11.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
• 2а-' |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
ст2 — Мсо2 —-неизвестный |
момент |
распределения. |
|||||||||||
2. |
Равномерное |
распределение |
в |
симметричном |
относительно |
|||||||||
начала промежутке |
[—с, |
с] |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
co«s; — с, |
|
|||
|
|
|
|
р (со): |
|
2с |
|
при |
—C<COs |
(11.17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
с о > с , |
|
|
|
|
где Мсо = 0 , |
Мсо2 |
= |
|
|
|
неизвестный момент распределения, |
||||||||
определяемый |
значением |
параметра |
с. |
|
|
|||||||||
3. |
Распределение |
Симпсона |
в |
промежутке [—2с, |
2с] |
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
0 |
|
при |
со ;=> —-2с, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2с - f со |
при |
— 2 с < с о ^ 0 , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.18) |
|||||
|
|
|
р(со) = |
|
2с — со |
при |
0 < |
со < 2с, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4с 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
со>-2б', |
|
|||
где |
Мсо = |
0, |
/И со2 |
= |
|
|
— неизвестный момент |
распределе |
||||||
ния, определяемый значением параметра с. |
|
|||||||||||||
4. |
Распределение |
Стьюдента |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k+l\ |
|
|
|
|
|
* + i |
|
|
|
|
|
Р(С0): |
|
V |
kn |
|
|
|
|
|
(k>2), |
(11.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
где Г — гамма-функция; Мсо = 0; Мсо3 = k _ 2 — неизвестный
момент распределения, определяемый значением параметра /е. Таким образом, для всех перечисленных плотностей распре деления (а они являются основными) неизвестным параметром плотности распределения р (со) является значение момента Мсо2 , вычислив который определим из соотношения (11.14) спектральную
плотность S/j (со).
Допустим, что X,- (t) — дифференцируемый процесс и XI (t) —
его производная. |
Тогда |
|
|
|
|
MX?(t) |
= |
MX Г (0) = Mvh Мсо2 = Ки (О)'Мсо2. |
|||
Если процесс |
X ' |
(t) является |
эргодическим, то |
||
|
|
|
|
г |
|
|
MX'\i) |
= l i m - j r |
\x?(i)dt. |
||
|
|
|
Г->со |
о |
|
При конечном времени |
наблюдения |
интеграл |
|||
|
|
|
|
т |
|
|
|
M*X?(t) |
= -T |
о |
\x?(t)dt |
|
|
|
|
|
является асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой для момента M X ; 2 (t).
Таким образом, если аналитическая структура функции опре
деляется одним из соотношений |
(11.16)—(11.19), то, вычислив |
в ЦВМ значения величин MX? (t), |
Ка (0), получим значение для |
момента Мсо2 , а тем самым и значение для спектральной плотности
процесса |
X j (/). Момент |
MX? (t) |
вычисляется в ЦВМ по рекур |
рентным |
соотношениям, |
поэтому требования, предъявляемые |
|
к памяти |
ЦВМ, минимальны. |
|
|
Данный алгоритм является частным случаем более общего |
|||
алгоритма. Пусть спектральная |
плотность s/y- (со) определяется |
*соотношением (ПЛ4), в котором аналитическая структура функ ции р (со) содержит п неизвестных параметров. Предположим, что
существуют конечные моменты Мсо2 " порядка 2и, где и — 1, п: Для оценки параметров спектральной плотности su (со) вычислим в ЦВМ интегралы
гг
~\xk(t)dt, |
|
-^\xi(l)Xj(t)dl, |
о |
о |
|
г |
|
|
^\Х}Г) |
(t)X\s) |
(t)dt, |
о |
|
|
где г + s |
и. |
48
|
Используя соотношение |
|
|
|
|
|||
|
|
MX\r) (t) X J S ) |
(t) = |
Кц (0) MoT < r + s ) , |
|
|||
определим |
момент Ma2 |
(r+s). |
|
|
|
|
||
|
'Так как |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M o r ( |
r + s ) = |
J |
co2 ( r + s ) p(co)dco, |
|
|
то |
отсюда |
получаем |
|
—от |
для |
определения |
неизвестных |
|
уравнения |
||||||||
параметров функции р (со). |
|
|
|
|
||||
|
Отметим, что |
метод |
неканонических |
разложений |
предъявляет |
|||
к |
памяти |
ЦВМ |
минимальные требования, однако требует доста |
точной гладкости процесса X (t).
Оценка параметров корреляционной функции по значениям выбросов случайных процессов. Рассмотрим метод оценки пара метров корреляционной функции Кх (т) одномерного стационар ного процесса X (t), имеющего нормальный закон распределения.
Представим корреляционную |
функцию |
в виде |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Кх |
(т) = |
Кх (0) р (т), |
|
|
|
||
где |
р (0) = |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что процесс X (f) можно дифференцировать. |
||||||||||||
Тогда существует момент р" (0). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Аналитическую |
структуру |
функции |
р (т) |
зададим в виде от |
||||||||
резка |
ряда |
Маклорена. Учитывая, что |
р' (0) |
= 0, |
имеем |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
р(т) = |
1 + ~ р " ( 0 ) , |
|
|
|
|||
{ |
р" (0) — неизвестный |
параметр. |
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kl(0)=Kx(0)p"(0) |
|
= |
MX'2(t), |
|
|
||||
то, |
оценив |
значения моментов Кх (0), |
MX'2 |
(t), |
определим |
зна |
|||||||
чение неизвестного параметра р" (0). Однако процедуру вычисле |
|||||||||||||
ния |
момента MX'2 |
(t), |
связанную |
с дифференцированием |
про |
||||||||
цесса |
X (t), |
можно обойти. Рассмотрим среднее число положи |
|||||||||||
тельных выбросов процесса X (t) за время Т над уровнем с. За |
|||||||||||||
метим, что выброс процесса X |
(t) над уровнем с в точке tL считается |
||||||||||||
положительным, |
если |
производная |
X' |
> |
0. |
Согласно |
[30 ] |
||||||
имеем, что |
среднее |
число положительных выбросов п+ (с) |
равно |
||||||||||
|
|
|
" + |
(с) = |
in |
К - Р " ( 0 ) |
<T~^W• |
|
|
(11.20) |
Подсчитав с помощью ЦВМ по реализации процесса X (t) число выбросов за время Тх для одного или нескольких уровней с, получим статистику nf (с). После обработки всех массивов ста-^
4 |
Л . Т. Тарушкин|а |
49 |