Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

выбросов процесса X (t) за единицу времени на относительном

тивной функцией от результата вычисления выбросов по массивам статистических данных Rx , то указанный метод определения параметров корреляционной функции является приемлемым для реализации на ЦВМ, если только массивы статистических данных

Определение времени наблюдения. При постановке задачи статистического оценивания параметров, входящих в моменты распределения процесса X (t), предполагалось, что время наблю­

X (t) только после определения минимального значения функцио­ нала (II.9) дает ответ на вопрос, достаточным ли было время наблюдения Т для того, чтобы оценки параметров моментов рас­ пределения удовлетворяли допустимой' точности. Метод оценки спектральной плотности с помощью неканонических разложений процесса — X (t) дает состоятельные оценки при Т —> оо. Отсюда возникает необходимость в приближенной оценке времени наблю­ дения, начиная с которого по массиву данных за время Т* следует уточнять значения моментов распределения процесса X (t), входя-

50

щие в априорные данные закона управления автоматической системой.

Зададимся любым промежутком времени, равным, например, Т*. Вычислим в ЦВМ значения интегралов

Предположим, что процесс Х ; (t) нормально распределен. Ставится следующая гипотеза: случайные величины \lk (k = 1, п) независимы и одинаково распределены. Если данная гипотеза верна, тогда статистики (11.22) имеют распределение хи-квадрат с (п — 1) степенями свободы. Пусть р — уровень значимости гипотезы. С помощью распределения статистик (11.22) находим, что если имеет место неравенство

где значение %% определено из таблиц (см. например, [6] распре­ деление хи-квадрат с (п — 1) степенью свободы и уровнем значи­ мости Р), то гипотеза верна с вероятностью 1—р.

Независимость статистик %lk\k = 1, п) означает, что на про­ межутке времени, равном Т*, нет корреляционной связи между статистиками l-lk. Одинаковая распределенность величин \i k означает, что в пределах допустимой точности можно считать M%w = 1Щ, М [|tfe — triif — а\. О допустимой точности можно судить лишь по величине вероятности неравенства (11.23).

Если гипотеза отклоняется, то это означает, что необходимо увеличить промежуток времени Г*. Число п не обязательно брать большим.

Рекомендации по выбору шага дискретности измеряемого про­ цесса. Измерительные устройства могут непрерывно выдавать значения реализации процесса X {t). При формировании массивов статистических данных берутся дискретные значения процесса. Переход от непрерывной величины к дискретной связан с выбором шага дискретности.

Если известна ширина спектра процесса X ((), что имеет место

вметоде оценивания спектральной плотности с применением

Данный способ применим тогда, когда априорное значение ширины спектра достаточно точно известно.

Пусть ширина спектра неизвестна и ее априорное значение задается с большой ошибкой. Метод неканонических разложений процесса X (t) не использует априорных сведений о ширине спек­

Для выбора шага дискретности поступим следующим образом. Зададимся любым промежутком времени [0, 7\].

Рассмотрим численные методы интегрирования функций на данном промежутке [0, Тг], например, метод Гаусса с оценкой погрешности по методу Рунге. Для процесса Xt (t) (i — 1, /) вычислим интегралы

где k — порядок полинома относительно t, аппроксимирующий процесс X (t); | — некоторая средняя точка из промежутка

О, - r p i если вычисляется интеграл /|, и из промежутка

Тг ,если вычисляется интеграл 1'ч.

Однако ввиду наличия производной высокого порядка ука­ занным остаточным членом на практике не пользуются, а исполь­ зуется более простая оценка

52

Если величина погрешности удовлетворяет требуемой точности, шаг дискретности определяется узлами квадратурной формулы. Если же точность ниже допустимой, то число узлов квадратурной

Для оценки параметра а применим следующие методы.

Метод преобразования Фурье. Согласно методу вычислим

— со

Зададим полосу частот, в которой будем рассматривать спек­ тральную плотность sx (со), со 6 t —

Для каждого одновременно обрабатываемого массива Rx статистических данных в ЦВМ вычисляется значение статистики (II . 7) . Функционал (II.9) равен

можно взять сравнительно небольшим, распределив их равномерно

m i n V = V (а = а 0 ) < е,

а > 0

53