Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 0
высокой точностью метод половинного деления недостаточно эффективен, так как надо выполнять большой объем работы, поэтому этот метод годится лишь для грубого нахождения корня.
Более эффективными методами для уточнения корня явля ются метод хорд и метод касательных. Смысл этих способов состоит в том, что точка £ пересечения кривой (2.2) с осью ОХ заменяется точкой Х\ пересечения с осью ОХ соответствен но хорды или касательной. Если найденное значение х\ не удовлетворяет требуемой точности, то уточняет его, находя путем повторного применения этого же метода значение х^- И так далее.
В § 6 будет доказано, что практически для всех рассмотрен ных дальше методов равенство ? ^ х„ справедливо с той же точностью, с какой совпадают между собой найденные'значе ния х„-х \\хп (например, для этих приближений установились т первичных десятичных знаков).
§ 2.3. М Е Т О Д Х О Р Д |
( М Е Т О Д |
П Р О П О Р Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х |
Ч А С Т Е Й ) |
|
Наложим |
на |
функцию |
(2.2) условие, чтобы |
на отрезке |
[а; Ь] она имела непрерывную производную f"{x), |
причем что |
|||
бы /'(х) и f"(x) |
сохраняли |
постоянные знаки на этом отрезке, |
||
т. е. чтобы функция была монотонна и либо только выпукла, либо
только вогнута. Условие f(a) f(b) < 0 будет требованием |
суще |
||
ствования корня на [а; Ь], причем в силу наложенных |
на |
функ |
|
цию условий он будет единственным на [а; Ь]. |
|
|
|
Покажем, что в случае, изображенном на |
рис. 2.5, |
по мето |
|
ду хорд п-е приближение корня вычисляется |
по формуле |
||
|
TW^ntT)f |
|
"•->• |
( 2 4 ) |
|||
Для этого запишем уравнение хорды АВ, проходящей через |
|||||||
тчкя A (a; f (а)), |
В(b;f{b)): |
|
|
|
|
|
|
|
у — / |
(а) |
|
х |
— а |
|
|
f |
(b) - / |
(а) |
• |
Ь |
- а |
|
|
Положив в этом |
уравнении |
г/ = 0, |
найдем |
Х\ — |
абсциссу |
||
точки пересечения хорды АВ |
с осью ОХ: |
|
|
|
|||
х. = |
а — —г—г- |
т |
|
/ (а) |
• |
|
|
ПерВЫМ Приближением КОрНЯ будет Х\.
Находим f(x\). Знак этой ординаты даст знать, где искать корень: в [а; Х\] или в [*ь Ь] (чтобы значения функции на кон цах отрезка были противоположны по знаку). На рис. 2.5 это будет отрезок [Х\\ Ь].
ft
Р и с . 2.5
Далее рассмотрим хорду А\В и, применив аналогичные рас суждения, получим
*3" х>~-Т(ь—/Ъ) J'<*•>•
Применяя метод математической индукции, получаем фор
мулу |
(2.4). |
|
|
|
\х,] |
|
|
|
|
||
Так |
как |
последовательность |
монотонна |
и ограничена, |
|||||||
то она |
имеет предел. В § 5 будет доказано, что этот предел ра |
||||||||||
вен искомому корню |
с: |
|
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim х„ |
= |
с . |
|
|
|
|
Пример 2.2. Найти один корень уравнения х3 |
+ 3х—1 |
=0. |
|||||||||
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
/ (х) |
= |
х3 |
+ |
3 х - |
1: / ' ( J C ) = |
|
3 л 2 |
+ 3 > |
0 ; |
/ " (х) |
=-• 6 х. |
Поскольку |
f ( 0 ) = — 1; / ( 1 ) = 3 |
и f'(x)>0, |
то данное |
уравне |
|||||||
ние имеет один корень на отрезке [0; 1]. Так как на этом отрез ке f"(x)>0, то кривая вогнута, т. е. имеем случай, изображен-
ный на рис. 2.5, и поэтому вычисления будем проводить по фор муле (2.4):
л-, = 0 - |
.— ( - 1 )— |
( - |
1) ~ 0,25; |
/ |
(0,25) = - |
0І234; |
|||||
х, |
= 0,25 - |
1 |
- |
0,25 |
( - 0,23) = 0,31; |
/ |
(0,31) = |
- |
0,040; |
||
- з Т Г г Щ - |
|||||||||||
|
|
3 |
-г- |
0,23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0,31 - |
1 — 0,31 |
( - 0,040) - 0,319 ; |
/ ( 0 , 3 1 9 ) — -0,010; |
|||||||
|
3 - f |
0,040 |
|||||||||
xt |
=0,319— 1 - |
0,319 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 4- 0,010 |
|
|
|
|
|
|
|
||
х:> |
|
1 |
- |
0,321 |
( - 0,0039» = 0,3219; |
} (0,3219) |
= |
||||
= 0,321— - |
n |
' ; " Q |
|||||||||
|
|
о |
-г U,ШОУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- |
0,0009 ; |
|
|
х « в 0 , 3 2 1 9 |
~" |
з |
~И'от |
{ " ° ' 0 0 0 9 ) |
= |
° - 3 2 2 1 • |
|
|
|||
|
Итак, с точностью до 0,001 корень уравнения, лежащий на |
||||||||||
отрезке [0, 1], равен 0,322. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Замечание. Значительную экономию вычислительной рабо |
||||||||||
ты можно получить, если значение дроби |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
b |
— х,,.., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(b) |
-/(*„..,) |
|
|
|
|
|
|
в формуле |
(2.4) брать одним и тем же для всех приближений |
||||||||||
корня (так называемый |
модифицированный |
способ хорд). |
|||||||||
|
Существует усовершенствованный способ хорд, дающий го |
||||||||||
раздо более быструю сходимость. |
|
|
|
|
|
||||||
|
В обычном способе хорд на каждом шаге следует использо |
||||||||||
вать один |
из концов отрезка [а; Ь] и последнее получившееся |
||||||||||
приближение. Вместо этого можно использовать два послед
них приближения, так как они ближе |
к искомому корню, чем |
||
концы отрезка [а; Ь]. |
|
|
|
Проведем хорду через точки |
|
|
|
(*„_,; |
f(x„-i)) |
и (хп, |
/(*„))• |
Точка пересечения |
x„^i этой хордя с осью абсцисс будет рав |
||
на (рис. 2.6): |
|
|
|
Если случайно окажется, что точка х„и\, вычисленная по формуле (2.5), лежит за пределами отрезка [а; Ь], то на сле дующем шаге вместо этой точки надо взять ближайший к ней конец этого отрезка (рис. 2.7).
Рис. 2.6 |
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
Для примера решим этим методом уравнение |
x3jr3x—1=0, |
||||
взяв из решения примера 2.2 #1 = 0,25 |
и #2 = 0,31: |
|
|||
= х3 - |
/ (*,) f { |
X x f J f \ ^ |
= 0,31 + 0,040 X |
||
v |
° ' 3 1 |
- ° - 2 5 |
п |
W |
|
х |
- TV340+~O2; M |
- ° ' 3 |
2 2 3 • |
|
|
Вычисляя f (0,3223) =0,0004, видим, что # = 0,3223 дает иско мый корень с точностью до 0,0001.
§ 2.4. М Е Т О Д К А С А Т Е Л Ь Н Ы Х ( Н Ь Ю Т О Н А )
Обозначив первоначально найденное приближение решения через Хо и разложив левую часть решаемого уравнения f(x) = 0 по степеням х—Хо в ряд Тейлора, получим
/ (*„) + - Ц ^ - {х - х0 ) + ^ ' ^ ) - (х - х0Г- + . . . = 0 .
Если отбросить члены выше первого порядка малости, то получим линейное уравнение
/ (х0) !- /' (х0) (х ~ х0) - 0 .
Решение этого уравнения
л , - л-., - |
. |
с « ) |
можно принять за первое приближение решения уравнения (2.1). * і Для выяснения геометрического смысла формулы (2.6) проведем касательную к кривой (2.2) в точке В(х0; /(*о)) для
случая расположения кривой, изображенного на рис. 2.8.
Уравнение касательной |
к, кривой |
(2.2) в точке В запишется |
|||
в виде: |
|
|
|
|
|
> ' - / ( • * < > ) = / ' |
(•*„) |
( * - * „ ) • |
|
||
Положив в этом уравнении у = 0, |
найдем х\ — точку пере |
||||
сечения касательной |
с осью |
ОХ: |
|
|
|
|
|
|
f<JC0) |
|
|
Таким образом, |
уравнение |
(2.6) |
дает точку |
пересечения |
|
рассмотренной касательной с осью абсцисс. |
|
||||
Взяв точку Bi(x\\ |
f(xi)), |
проведя касательную к кривой |
|||
(2.2) в этой точке и обозначив |
точку |
пересечения |
новой каса |
||
тельной с осью ОХ через Х2, |
будем иметь: |
|
|||
|
х - |
х |
/(*»> |
|
|
