Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интегралы:

Отв.:о 0,69.

1dx

18.J 1 4- XІ

Отв.:о 0,79

Г л а в а 8

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Очень важно уметь применять основные методы прибли­ женного решения дифференциальных уравнений, так как даже Б случае достаточно простых обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений не всегда удается выразить решение в квадра­ турах.

В зависимости от формы, в которой представляется прибли­ женное решение уравнения, методы приближенного интегриро­ вания дифференциальных уравнений можно разделить на три группы.

Аналитические методы предусматривают получение при­ ближенного частного решения уравнения либо в виде квадра­ тур, либо в виде степенных рядов, равномерно сходящихся, при определенных условиях, к точному решению. Среди ана­ литических методов основными являются:

—метод последовательных приближений;

—разложение решения в ряд по степеням независимой пе­ ременной или по степеням некоторых параметров уравнения;

—• разложение в ряд по степеням начальных данных. Графические методы предполагают приближенное построе­

ние интегральных кривых.

Численные методы дают приближения для значений точ­ ного решения лишь в отдельных точках и их оформляют в виде таблицы.

Цель настоящей главы состоит в том, чтобы дать достаточ­ но полное изложение численных методов решения обыкновен­ ных дифференциальных уравнений первого порядка, и потому для иллюстрации аналитических методов представлено лишь схематическое изложение первых двух из них.

$ 8.1. М Е Т О Д П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н Ы Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Й

Изложим этот метод применительно к дифференциальному

уравнение (8.1) удовлетворяет условиям теоремы существов„а- шія и единственности решения *.

Решение уравнения (8.3) удовлетворяет дифференциально­ му уравнению (8.1) и начальным условиям (8.2).

Если интервал (х0, х) достаточно мал, то приближенно можно полагать в нем функцию у(х) равной у0, и в качестве первого приближения выбрать функцию

у (х) — lim у,г (х) .

Если f(x, у) определена и непрерывна в области

Погрешность метода последовательных приближений опре­ деляют по формуле

з „ (х) = | у (х) - уп (х) | ; MN* - ^ П у Г '

Пример 8.1. Методом последовательных приближений най­ ти приближенное решение дифференциального уравнения у'~х—у, удовлетворяющее начальному условию у\х=о = Ь

Р е ш е н и е . Интегрируя уравнение от 0 до х, получаем

х

и аналогично

- Х - + Х - g Г" -24-

= \ - x - r 2 ( ^ r - - £ r ) + ( - 1 ) *

поэтому за а и ft могут быть взяты любые положительные чис­ ла: