Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Продолжив этот процесс, найдем, что

Описанный процесс уточнения корня предложил Ньютон.

Теорема. Если f(a)

(b) <

причем f'(x)

и / " ( * )

отлич

ны от нуля и сохраняют

определенные

знаки

при

х є [а; Ь], то

исходя из начального приближения х0

є [а;

Ь], удовлетворяю

щего неравенству f(x0)f"(xo)>0,

можно

вычислить по

форму

ле (2.7) корень

g уравнения/(х) = 0

с любой

степенью

точ

ности (?= Игл л'„) .

Очевидность

теоремы

вытекает

из

рассмотрения рис. 2.8.

Напомним,

что знак

\" {х)

определяет

выпуклость

кривой

(f"(x)>0

— кривая вогнута; f"(x)<0

— кривая

выпукла). На

рис. 2.8 кривая вогнута, f " ( x ) > 0

и последовательность

хп,

оп

ределяемая по формуле

(2.6), сходится

к корню

с, если

взять

х0 = Ь. Так

как f(b)

>0,

то f(b)f"(b)

>0.

Если

же

за

начальное приближение взять х0

= а,

то

f(a)f"(a)<0,

так

как f(a)<0.

И если

провести

касательную к

кривой (2.2)

в точке A (a; f(a)),

то точка пересечения этой

ка

сательной с осью

абсцисс

х\

даст

отдаление

от

корня

а не

приближение к нему.

Остальные возможные случаи (различные варианты знаков

/(a), [(b),

f"[х))

предоставляем

читателю рассмотреть

на

ри

сунках.

Из формулы

(2.7)

видно, что чем больше численное

значе

ние производной

f (х)

в окрестности данного корня, тем

мень

ше поправка, которую нужно прибавить к (п—1)-му

прибли

жению,

чтобы получить

n-е приближение.

Поэтому

метод

Ньютона особенно удобен, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну. Если же численное значение производной /'(Л;) близ корня мало, то поправки бу дут велики и вычисление корня по методу Ньютона может ока заться долгим, а иногда и невозможным. Тогда применяют ме тод хорд.

Пример 2.3. Решить уравнение	х3	— Зх— 5 = 0		с точностью
до 0,001, приняв за первое приближение х0			= 3.
Р е ш е н и е .
/ (х) — Xі — Зх — 5; / ' (х) =	Зх2	-	3; fix)	= 6х .

Так как /'(3) =24, хорошо применять метод Ньютона. Поскольку /(3)f"(3)>0, применяем формулу (2.7):

і ЗлГя_і 5

X — Х„-\	34-! - 3

Вычисления по этой формуле дадут:

*, =

3 -

2 7

^ ~ 5

2,46 ;

<>,.«

14,89 - 7 , 3 8

- 5

A s

5 = 1 2 , 4 6

1 8 , 1 6 - 3

= 2 ' 2 9 5 '

12,088 -

6,885

- 5

л - 8 - Л 2 У о

1 5 , 8 0 1 - 3

- - . ^ J -

хк

2,279 -

11,837 — 6,807 -

= 2,279

| Ц

; ' е и

Г '

15,582

Итак, с точностью до 0,001 выполняется

равенство хъ — х^

поэтому корень уравнения х3—Зх—5

= 0 с точностью до 0,001

равен 2,279.

Пример 2.4. Применяя

метод Ньютона, найти

J/970 с точ

ностью до 0,001.

Р е ш е н и е .

Сначала

рассмотрим

более

общий случай —

уравнения хк—а = 0.

нахождение

корня

как

решение

Тогда

(Л-) =

х* — a,

(х)

kx"-x

и формула

(2.7) примет вид

n -

Хп

— Х п - \

hyk--l

или

х„

a +

(k-

])*„*_.,

Для решения примера

возьмем

/г = 3,

а так как о = 970, то

возьмем х0 = Ю. Поскольку

/ ( 1 0 )

/ " (10) =

(108

— 970) • 3 • 2 • 10 >

0 ,

то формула

(2.7) применима.

Получаем

2Х^

970

4- 9

. i n 3

* i =

= 9,900;

3. З а к . 428.

Итак, Б пределах заданной точности значения Х\ и Хг совпа-

					:з
дают, поэтому с точностью до 0,001				имеем V 970 ^ 9,899.
Иногда метод Ньютона видоизменяют: знаменатель фор
мулы (2.7) заменяют на f'(xo),			т. е. решают по формуле
	Хп-\			fix,,	•)

Геометрически это значит, что все касательные, кроме пор
кой, заменяют	наклонными	прямыми,			параллельными	каса
тельной в точке	(х0; )'(хо)).	Здесь		последовательность		хп схо
дится к корню	с хуже, но зато расчеты				значительно упроща
ются, если fix)	имеет сложное		выражение.
На практике	часто используют			комбинированный		метод,

т. е. применяют одновременно и способ касательных, и способ

хорд, причем одним способом получают	приближение	корня
с недостатком, а другим — приближение	с избытком.	Каким

именно способом получается приближение корня с недостат ком, а каким с избытком, зависит от вида графика функции.

При комбинированном методе абсолютную погрешность можно вычислить, находя длины отрезков [х'і; Хі], [хГ2, х&....

(рис. 2.9).

Р и с . 2.9

Пример 2.5. Решить уравнение х— sin х— 0,5 — 0 с точ ностью до 0,001.

Р е ш е н и е .

Составим

табл.

2.1

значений

функции

/(#)

=х—sinx—0,5.

Таблица 2.1

— 1

0,659

- 0 , 5

—

0 , 4 1

0,591

Из таблицы

видно, что корень уравнения

с лежит

между

1 и 2. Так как f'(x) = 1—cos#>0,

то корень с

на отрезке [1; 2]

единственный. Формула

Ньютона

примет вид:

Л я

—

А",; - і

Л",,

і — Sill

Х„-\

0,5

— COS

Х„-\

Так как

/ "

(л) =

sin #

(2) / " (2) =

0,591 sin 2 >

0 ,

то возьмем х0 = 2. Тогда

л-,

2 -

S 1 " 2 ~ 0

, - ~ =

1,583 (sin 2 .= 0,909)

1 ~

cos 2

По формуле хорд

(2.4) имеем:

х'

( _

0,341) = 1,306 .

0,591 -

( -

0.341)

Применяя дальше формулы (2.7) и

(2.4)

к отрезку

[1,366;

,583], получаем:

х 3

1 583 -

1.583

1,000 -

0,5

1,083

і +

0,012

i ' 3 6 6

+ o

' n

' 3 - 4 f M ^ 3 L ^ 1

' 4 9 1 -

Далее по тем же формулам (2.7) и (2.4) находим #3 = 1,498

и #'3 =1,498, т. е. корень

уравнения

с точностью до 0,001 есть

1,498.

Описанные выше метоДы последовательных приближений п

математике

называются

итерационными

(по-латыни

итера

ция — последовательно повторяющийся единообразный про

цесс). Это единообразие'очень	удобно в применении быстро
действующих вычислительных	машин.

В результате итерации получаются все более точные при ближенные значения.

Однако непосредственно методом интераций называется способ численного решения уравнения, излагаемый ниже.

§ 2.5. М Е Т О Д И Т Е Р А Ц И И ( П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н Ы Х

П Р И Б Л И Ж Е Н И И )

Требуется решить уравнение (2.1), где функция (2.2) — непрерывна. Перепишем уравнение (2.2) в равносильном виде:

.* =

<?-(*)•

(2.8)

Например, уравнение

ех—sinx

= 0 можем переписать в виде

х = ех—sinx+x.

вообще,

переписав

уравнение

(2.1)

виде

x = x + cf(x),

где

—

произвольная постоянная,

отличная от

нуля, видим,

что уравнение

(2.1) в виде (2.8)-можно предста

вить любым числом способов.

Выберем

одно конкретное

уравнение

(2.8) и найдя

каким-

либо способом грубо приближенное значение корня х0

и под

ставив это значение в правую часть уравнения

(2.8), получим

некоторое число х,=ср(л-( 1 ).

Подставляя теперь в правую часть

того же

уравнения

(2.8)

число Х\,

получаем

новое

число

x2 = 'f(xl).

Повторяя этот процесс, находим

хя

?(*„_ ,);

= 1,

2 , . . .

(2.9)

Если последовательность {хп}

сходящаяся, т. е.

lim хп

= £,

то переходя к пределу в равенстве

(2.9)

и используя непрерыв

ность функции

ts (х),

получаем

lim хп =

lim 'і

(x„-i)

—

<? (Hm хп-\)

или

£ =

т. е. предельное

значение

является

корнем уравнения

(2.8),

а следовательно, и уравнения

(2.1).

Однако последовательность

хп

может расходиться,

но это

еще не значит,

что

решения

уравнения

(2.1)

не

существует,

просто

может

оказаться,

что

процесс

итерации

выбран не

удачно.

Чтобы процесс итерации оказался сходящимся, достаточно,

чтобы в окрестности

корня

производная

(х)

удовлетворяла

неравенству

? '

(.V)

• </,

где

< \ .

(2.10)

Теорема (строгая формулировка): пусть функция г-?(х) оп ределена и дифференцируема на [а; Ь], причем все ее значения

Смотрите также файлы

Живов Л.Г. Привод и автоматика самоходных кранов.pdf

Завьялов В.М. Условия аккумуляции нефти и газа и закономерности размещения их в Днепропетровско-Донецкой впадине.pdf

Задорожный Я.Н. Конструкция и летная эксплуатация турбовинтового самолета АН-24 конспект лекций.pdf

Захарченко В.Н. Коллоидная химия учебник.pdf

Захарьящев Л.И. Конструирование СВЧ каскадов на резонансных линиях и спиральных фильтрах.pdf

Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно