Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.07.2024

Просмотров: 135

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Далее будет показано, что т — число четное, поэтому из равенств (2.19) могут быть вычислены абсолютные величины корней:

А т ;

Д.,

| х 2 |

(2.20)

Хп А„-\

Знаки корней устанавливаются подстановкой ± | х( ( в ис­ ходное уравнение. Итак, чтобы найти абсолютные величины корней уравнения (2.15), нужно уметь:

—составить по данному уравнению уравнение (2.17);

—определить в соответствии с заданной точностью вычис­ лений необходимую величину т.

Рассмотрим каждый из этих вопросов.

2.Процесс квадрирования корней. Построение уравнения (2.17) производится последовательным ^-кратным повторени­ ем одного и того же преобразования: по уравнению (2.15)

строится уравнение с корнями

\**л>Л

л ] і

Л 2 і ' ' ' '

п '

повторяя процесс со вновь полученным уравнением, получаем уравнение с корнями

( - * ? ) 2 .

( - 4 У

 

( - х ° п У

 

и наконец, уравнение с корнями

 

 

 

 

 

( -

х,Г* , . . . ,

( -

хпу

•

 

Полагая т = 2к,

 

по формулам

(2.20)

находим корни урав­

нения. Этот процесс называется квадрированием

корней.

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

== хп

+

aiXn-i

+

. . . + Д „ =

0

— данное уравнение, а

 

 

 

 

 

 

F (х)

=

хп

+

bl х"-1

+

. . .

+ /?„ =

0

— уравнение с квадрированными корнями. Его коэффициенты определяются по формулам

bl = cf.+ 2У ( - \ y a t - s a,±s , (і = 1. 2 , . . . , и). (2.21)

Итак, і-и коэффициент квадрированного уравнения равен квадрату /-го коэффициента исходного уравнения минус удво­ енное произведение окружающих его коэффициентов плюс удвоенное произведение коэффициентов, их окружающих и т. д., пока не используется один из крайних коэффициентов уравнения.

Например, если / (х) = х" 4- 2хі - х3 + Зх3 + 4х - 5 = 0 ,

то коэффициенты

уравнения

'

F (х)

= х5

+

X J +

xs +

bA х- - f Ь, х + Ь, =

будут

равны:

 

 

 

*1 = 22

- 2 - 1 • ( -• 1) = 6;

 

 

- І ) 2 - 2 • 2 • 3 4- 2 • 1 • 4 = - 3 ;

ft8 = З 2

- 2 ( - 1 ) • 4 + 2 • 2 • (-- 5) = — 3

. bi

= 42

— 2 • 3 • ( -- 5) = 46 ;

-( -- 5)- = 25 ;

Z7 (х) = ; X ' + 6х4 - Зх3 — Зх2 + 46х + 25 = 0 . Вывод формул (2.21):

/ (х) = (х — х( )(х — х.,) . . . (х — хп) = 0 ;

 

f(-x)

=

(—l)"(x

+ х,)

(х +

* , ) . . . ( * +

х„) =

0;

 

f{x) • / ( - * )

=

( -

1)" (х2

- х 2 )

( х 2

- х 2 ) .

... (х2

- х\)

=

0-

Обозначая х2 через —у, получаем

 

 

 

 

 

 

 

F (у) =

(у

+- х2 ) (у + х2 ) . . . (у f

х2 ) =

0

 

 

—• уравнение с корнями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v-2

_

r 2

 

 

_

v2

 

 

 

 

 

 

 

Л (

,

Л 2

, . . . ,

 

лп .

 

 

 

 

Проследив приведенные выкладки на коэффициентах урав­

нения, получим формулы

(2.21):

 

 

 

 

 

 

 

f(x)=xlt

+ al

X " - 1

+

а2 хп~2

+ а3

x * ~ 3 +

. , . +

ап^х

х + ап

=

0;

4. Зак. 428.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

/

(—

х)

== ( -

1)" [хп

—

 

av

х-"-1

+ а2

х"-2 — а3 л:"-3 +

 

 

 

+ . . . +

( -

I)""1

an-i

х +

( -

1)" а„] =

0 ;

 

 

/ (*) /

( -

*) =

( -

1)" [*ЇЛ

+ ( -

А? + 2а2 )

х2 "-2

+

(а2 -

2а, а,

+

-!- 2

• 1 • а4 )

х9 "-4 4- (—

а2

+

2а2

а4 — 2а, а5

4-

2а6 ) х'5"-6

+

 

 

 

 

 

+ . . . + (_

1 ) « а я ] = 0 .

 

 

 

 

Полагая х2

= —у,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

F(y)

= у

+

(я?

-

2а,-1)

у - »

+

(а2 -

2а, а3

+

2 a 4 - l ) y » - s

f

+

(а2

-

2а2 а,

+

2а, аь

-

2аи

• 1) у*-* +

. . . + а\

= 0,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

а2

— 2 • 1 • а, ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62

=

а2

— 2а! а3

+

2_ • 1 • а, ;

 

 

 

 

 

 

 

63

=

а2

— 2а2 а4

+

2а, а5

— 2 • 1 •

ай;

 

 

 

bi = а] + 2 У ( - 1 ) 5 а , _ , й . ; + 1 .

3. Определение необходимого числа квадрирований. Пред­

положим, что после к квадрирований равенства

(2.19) выпол­

няются в пределах заданной точности. Тогда после, (k+

1)-го

квадрирования они выполняются тем более.

 

 

Пусть коэффициенты

k-ro квадрирования обозначены

Ап

а коэффициенты (k+1)-го

квадрирования — ct.

Тогда

 

г 1 . ^ ( х 1 х 2 . . . х і - ) 2 * ; І = [ ( х , . . . х , . ) ^ ] ^ Л 2 ,

т. е. если требуемая, точность достигнута, то коэффициенты очередного квадрирования равны в пределах заданной точнос­ ти квадратам коэффициентов предыдущего квадрирования. За­ метив это, прекращаем процесс квадрирования.

4. Случай комплексных корней. Пусть

Xs,s+i = ге±1'* — г (cos ср + і sin ?)

(2.22)

— пара комплексных сопряженных корней уравнения

(2.15),

причем

 

I x i j > I н \ > . • • > 1 х , і = ; х , + і | > . . . > , х п і .

Так

как

 

 

 

 

 

 

 

 

(xs

xs fl)'»

==

;

 

 

 

(xl x2.

. . xs)m

+ (xl

x2 .

. . Xs-i

xs+1)m

=

= (x,

x2 . . . Xs-i)m

[(xsr

+ (xs+l)'"}

=

(x, x2

. . . *,_,)« X

x

 

X

2rm

cos m-f ,

 

 

система равенств (2.18) имеет вид: Л, = - д ; ( 1 + «,) ;

Л, . ;

= » ( * , . . .

*,_,)'*

(1 + «5-і) ;

 

 

 

Л5

=

 

. . .

. і)" 2/"" (cos mv +

a,);

(2.23)

As+l

=

(x,

. . . Xs-i)M

r-'" (1 4- xs+i)

;

 

 

Ля

=

(x,

. . .*,_,)»

г2 » ( X , T 2 . . .

,

 

где

( / = 1 , 2, ... , n) — те величины, которыми можно было

пренебречь в случае действительных корней.

кроме as,

В данном

случае

можно

пренебречь

всеми я,,

так как

cos

/гас? может стать как угодно малым. Приближенно

полагаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

А\

•

yftl

•

 

 

 

 

As-i % (xl

. .• •

Xs- 0 " ;

 

 

 

 

As

=

(*1

• .•.

xs- i)'n

2rm (cos' /гас? +

aJ ;

(2.24)

As+i

% (x(

. . . xs.:)m r-'"1 ;

 

 

Ап = ( * ! • . • • xs-:

Все коэффициенты, кроме As, как и в предыдущем случае остаются положительными, а по достижении необходимой точ­ ности будут представлять собой квадраты коэффициентов пре­ дыдущего квадрирования. Но коэффициент As в силу присут­ ствия в одном из множителей cos /де? будет меняться беспоря-

Смотрите также файлы