Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
Тогда система (3.1) |
перейдет в систему, которую можно за |
писать в виде табл. 3.2 |
(где і ф г, j Ф s). |
|
Таблица 3.2 |
0 -
0 =
|
«... • |
|
|
І |
ft, |
ft,*-/ |
• ftn |
R |
|
ft, |
ft,. • |
ft,*-/ |
ft,™ • • 4. |
П 1-І |
: а
|
Q с |
. • |
|
|
• |
|
|
0 = в |
£ |
. m n |
Є |
|
|
|
т,П1-1 |
где общая операция деления на ars выделена отдельно.
Описанная операция перехода от табл. 3.1 к табл. 3.2 и есть шаг жордановых исключений с разрешающим элементом ars. Этот шаг можно сформулировать в виде следующих четырех правил:
1. В новой табл. 3.2 столбцов на один меньше, чем в исход ной табл. 3.1, а именно, нет столбца с коэффициентами при не известном xs.
2. Элементы/-й разрешающей строки не изменяются, но от сутствует разрешающий элемент ars.
3. «Обыкновенные» элементы b{j (іФг, j Ф s), т. е. эле менты, не принадлежащие разрешающей строке, вычисляются по формуле
|
|
|
|
|
(3.2) |
4. Все элементы новой таблицы делятся на |
разрешающий |
||||
элемент ars (что' в табл. 3.2 |
изображено |
символически делени |
|||
ем всей таблицы на |
ars). |
|
|
|
|
Замечание. Практически |
запомнить |
формулу |
подсчета b{j |
||
при |
разрешающем |
элементе ars лучше, если |
рассмотреть |
||
табл. |
3.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
а „ |
. . . |
a |
* |
• • • |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
* і * |
* і |
|
|
... |
• • * |
« 1 * |
0 = |
а „ |
• • • |
a |
* |
|
i t ' . . . |
|
( * 1 |
|
|
t і * |
>< |
і і \ |
||
0 = а „ |
• • • |
t i « |
i l l |
••• |
a« |
||
|
< • • |
. і . |
• і . |
> • • |
|||
0 = |
ami |
... |
a,, |
... |
• ' • |
a m „ |
|
Пример 3.1. Произвести один шаг жордановых исключений с разрешающими второй строкой и вторым столбцом над си стемой
1 — 3*, - 2х2 = 0
2 — - 4х2 = 0
З - ЗХІ — Зх* — х3 = 0
ирезультат записать в виде системы.
Ре ш е н и е . Запишем систему в виде табл. 3.4.
Таблица 3.4
|
|
г |
|
/ |
|
J |
' 0 |
1 |
|
0 = |
/ |
ч |
0 |
г |
0 = |
т |
3 |
/ |
3 |
1
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я » '— а,3 |
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
<7И |
а.п |
— а.п а,.. |
3 |
• 4 |
1 • 2 |
= |
|||
Ап — avi |
0-22 |
— я,., а,,. |
0 |
- 4 - -0 |
2 = 0 |
; |
|
||
*81 = |
|
|
|
= 3 |
- 4 - -1 •3 - 9 |
; |
|
||
= |
|
$93 ^*32 |
г- 1-4- -0 |
3 - 4 ; |
|
|
|||
й1 4 = У і а 2 2 "— у, а 1 2 |
== 1 •4 - 2 •2 = 0 |
||||||||
^34 = Уз |
а22~ " У З а32 |
= |
3 • 4 |
- 2, |
3 = |
|
6. |
||
то в данном примере |
табл. 3.2 |
примет |
вид табл. |
3.5 или 3.6. |
|||||
|
Таблица .3.5 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
/ |
|
|
|
1 |
|
|
0 = |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
||
0 = |
10 |
О |
0 |
|
|
|
/ |
0 |
|
|
|
|
г |
|
|
|
г |
||
X = |
1 |
0 |
|
|
|
Ч |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
0= |
9 |
Ч |
6 |
|
|
|
9 |
/' |
J |
|
|
|
Ч |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 3.6 представляет собой запись системы |
|
|
|||||||
|
|
0 = і • о — *, - j - - |
ч |
0 , |
|
|
|||
|
|
хг |
- і . |
1 |
1 |
|
• 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 = |
1 |
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
|
х |
|
|
|
X., |
|
1 |
4 х і ' |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
3 |
9 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
||
2. Решение системы |
(3.1) |
заключается в получении число |
||||
вых значений xs, |
удовлетворяющих |
системе. Решить |
систему |
|||
(3.1) можно, применяя |
последовательно шаги жордановых ис |
|||||
ключений, т. е. |
переводя |
последовательно все |
значения |
|||
xs (s= 1, 2, ... , п) |
в крайний |
левый |
столбец табл. 3.2. |
|
||
Однако надо еще раз подчеркнуть, что операция перевода значения х9 в r-ю строку крайнего левого столбца возможна лишь в случае ars ф 0,
Шаги жордановых исключений можно применять до тех пор, пока в левый столбец не перейдут все элементы xs, или по ка нельзя будет перевести какие-то элементы xs в левый стол бец потому, что соответствующие разрешающие элементы рав ны нулю. Последний случай соответствует либо несовместности системы, либо наличию бесконечного множества решений.
Возможные случаи решения системы (3.1) рассмотрим на примерах в следующем параграфе.
§ 3.2. Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
У Р А В Н Е Н И Й |
||||||
1. Система имеет единственное |
решение. |
||||||
Пример 3.2. Решить |
систему |
|
|
|
|
||
|
4 — 2х1 — 2х2 |
+ х3 |
|
— #4 |
= 0 , |
||
6 — 4#! |
— Зх2 |
+ |
x-i |
— |
2х4 |
=» 0 |
|
12 |
- 8Х[ —- 5х., + |
Зх3 |
— 4х4 |
= 0 , |
|||
6 |
- 3xt |
- Зх2 +- 2х3 |
- 2*4 |
= 0 . |
|||
