Файл: Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
дочно и по величине, и по знаку. Таким образом, если в процес се квадрирования становится заметным такой меняющий знаки коэффициент, то это является признаком наличия комплексных корней, первый из которых совпадает по номеру с «беспоря дочным» коэффициентом.
Из системы (2.24) получаем
I хх: = л, |
X s |
- l \ = |
А.,. |
|
|
|
|
|
|
, - ( ^ ) f c |
, . , K . . ( ^ ) - . |
< ш |
||
Определив из данного уравнения (2.15) знаки действитель ных корней, находим аргумент <? с помощью теоремы Виета:
— at = У xt = х, + ...-т-xs -i + 2r cos ! ? + ^ + 2 + ...-г^л - (2.26)
Из уравнения (2.26) иногда удобнее определять не 'f, а дей ствительную часть комплексных корней:
и = г cos ? = — y (al+xl + ...-\-xs-i+xs+2+--+xn) |
. (2.27) |
Тогда мнимая часть определяется через г и и:
v = Y~r3^~u?, |
(2.28) |
и окончательно имеем:
Xs,s+\ — U ± VI .
5. Образец выполнения лабораторной работы. Найти корни уравнения х3+2х2+ \0х—75 = 0 с точностью до четвертого де сятичного знака.
Для наглядности и в силу заданной точности |
вычисления |
|
будем вести, записывая |
числа с пятью значащими цифрами. |
|
Результаты вычислений |
удобно располагать в |
специальной |
табл: 2.4. |
|
|
Таблицу заполняем, пользуясь правилом образования коэф фициентов квадрированного уравнения.
К |
„к |
|
К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т Ы |
при |
|||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
X і |
X 2 |
|
X. |
|
||
|
|
|
|||||
0 |
4 |
4 |
2 |
|
4 0 |
|
|
|
|
і |
|
|
Ю г = 100 |
|
|
|
|
-2-10-1 = |
- 2 0 |
-2-2-675)= 300 |
|||
і |
2 |
і |
- і б |
|
400 |
|
|
|
|
|
С - 1 6 ) 2 = |
255 |
(4Q0)2 = (60 000 |
||
|
|
|
-2-і .400 = -800 |
C-2)C-1fe)-5625 |
|||
с |
4 |
і |
-5,44 |
|
|
|
|
|
|
|
С-54«Ог295940 |
СУмоч Эг |
|
||
ъ |
|
|
|
|
-2-(-544>i,1fe4MO |
||
8 |
і |
- 3,8406- -І05 |
і , 4 8 9 і |
• 10И |
|||
|
|
|
1>4750- |
1 0 м |
2,2175102 1 |
||
|
|
|
- 2 , 9 7 8 5 Ч о " |
7,6899 • Юг° |
|||
т |
16 |
1 |
|
|
2,2944 |
• |
<0 2 2 |
|
|
|
2,2597- |
1 0 2 г |
5,2644 |
• |
ю**; |
|
|
|
-4,5888 • 1 0 й |
3, ОіЬ2 • 104 ' |
|||
5 |
_32 |
1 |
- 2 , 2 2 9 М 0 " |
5,2674 |
• |
ЮЧН |
|
|
|
|
|
|
2, 7745 • |
t o 8 9 |
|
|
|
|
-1,0557 MO''5 |
4 ,4785 • (0 8 г |
|||
6 |
64 |
1 |
-5,5657- ІО^ |
2, 774 5 • <о8 9 |
|||
СЬ О Є О А Н ЫЙ
ЧЛ Е Н
-7 5
С-75)* = = 5625
5625
(562 5 ) 2 = = 5, {641107
5,4641- Ю7
і , 00U - 10
•
<,0022- Ю*
1,0045 • 10f e o
' і, 0089 - іО, 2 °
Сделав шестое преобразование,' замечаем, что коэффициен ты при х3, х и свободный член являются (в пределах заданной точности) квадратами предыдущих коэффициентов. Поэтому процесс квадрирования прекращаем.
Коэффициент при х2 ведет себя «беспорядочно», т. е. не яв ляется всегда положительным и в последнем преобразовании не равен квадрату предыдущего коэффициента. Следователь но, данное уравнение имеет два комплексных корня, а именно
х\ и х%, так как о их наличии дал знать коэффициент |
А\. |
||
С помощью формул (2.24) получаем: |
|
|
|
А0 |
, |
^ |
^ |
А0 |
|
|
|
так как Л п = 1: |
|
|
|
А
А,
откуда при /?2 = 64,
r i 28 = 2,7745 • Ю 8 9
Логарифмируя, находил} г = 4,9976.
*3 |
1.0089 • 10'-° |
= з,бЗбі • 1о»о, |
г = о , - ; ; / т™.8 |
||
|
2,7745 • 10 » |
|
откуда | х3; =3,0002.
Подставляя поочередно в уравнение +3,0002 и —3,0002, определяем знак #з: #з = 3,000 (в пределах заданной точности).
По формулам (2.27) и (2.28) находим действительную и мнимую части комплексных корней:
и = ~ ( - а, — х3) = - 1 - ( - 2 - 3,0002) = - 2,5001 ;
v = V г2 - и'- = У" 4,9976'- — 2.50012 = 4,3281 .
Результат:
#1 = —2,500 + 4,328/;
х2 = —2,500—4,328/; #з = 3,000.
54 |
v |
Г л а в а |
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
'* |
||||
МЕТОДОМ ЖОРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ |
|
||||
Требуется решить систему т линейных уравнений с п неиз |
|||||
вестными: |
|
|
|
|
|
|
|
У , - £ |
a n * s = 0 . |
г = 1, 2 , . . . , т |
(3.1) |
|
|
.9=1 |
|
|
|
или в развернутом |
виде |
|
|
||
Уі |
Xj |
Х-г |
• • • |
. . . Хп С1\п |
^= 0 , |
Уr |
— Xj |
— |
С1Г2 — • • • |
Xs |
. . . — Xn |
drn |
^ Qf c i |
|
Ут |
x l атІ |
Х1 |
Яті |
• • • |
X s ams |
• • • Xn |
a m n ~ |
0. • |
В этой главе будет описан способ решения системы, назы |
||||||||
ваемый методом жордановых |
исключений. |
|
|
|||||
§ 3.1. ШАГ Ж О Р Д А Н О В Ы Х |
И С К Л Ю Ч Е Н И Й |
|
|
|
||||
1. Систему |
(3.1) записывают в виде табл. 3.1. |
|
|
|||||
Определение. Шагом жордановых исключений, произведен ным над табл. 3.1, называют операцию разрешения одного из уравнений, например г-го по счету, относительно одного из не известных, например xs, подстановки этого неизвестного во все остальные уравнения системы и затем получение системы в ви де новой таблицы, аналогичной первой.
- л , 3-s • •
0 =
|
|
% |
|
|
|
|
|
• • |
a<s |
• |
|
|
|
|
|
|
|
||||
% * 1 |
1 1 |
* |
• |
• |
« |
t |
t t |
|
l i t |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
|
|
* |
t |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
» |
» |
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 = |
|
|
|
|
|
|
• |
- |
- |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Уm |
||
|
„ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
У г |
x l а г 1 |
х 2 а г 2 |
|
• • v *~ x s a r s — • • • |
|
Хп |
й г а |
= 0 |
|||||||||||||
при условии |
arf Ф 0 |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xs |
= |
ars |
|
.( — х1 |
аг1 |
— х-, ап |
|
— . . . — xs-\ ar,s |
і — |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Xs-i-i a,, |
s |
і |
- |
• |
• • |
— |
xn |
arn |
|
+ |
1 |
• yr) . |
|
|
|||||
После подстановки значения xs |
в i-e |
уравнение |
имеем |
||||||||||||||||||
(должно быть |
і •= г): |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
._, |
||||||
О = - 7 — |
[ - |
* i («и |
|
|
- |
a r i a J s ) |
— |
*2 |
( a |
/ 2 ars |
- |
a , 2 |
a,.,) — |
||||||||
- . . . - xj (au |
ars |
-r- arj |
als) |
|
- . . . — xn |
{aln |
ars |
|
- arn |
als) + |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
ІУі <*rs |
- |
y, ais)\ |
, |
|
|
|
, |
|
|
|||||
где j Ф s . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введя |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= flJ/ fl« — arj ais > |
Й ' . " + 1 — У і Й « ~ Угais . |
|
|
||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = — |
— |
( — jcjftj! |
- |
|
x2bi2 |
- ... |
- |
|
|
- ... |
- |
xnbin |
+ |
blt„ + i). |
|||||||