ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 0
§ 6. Рефлексивные полуторалинейные формы |
25 |
линейно независимы, то из предыдущего соотношения
вытекает, |
что m (Х\ + х2) — m (лД = |
in (х2) . Следователь |
||||||
но, f(y,x) = (f(x,y))Jr~l, |
где |
г — скаляр, отличный |
от О |
|||||
и не зависящий от х и у. |
|
|
|
|
|
|||
Далее, вычисляя двумя способами {f{y,x))J |
и |
учи |
||||||
тывая, что f(x,y) |
может |
быть произвольным элементом |
||||||
тела К, получаем, что |
|
|
|
|
|
|
||
|
lP = |
rJlr |
|
для |
всех |
g<=/C |
|
(9) |
в частности, |
|
|
rrJ= |
1. |
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь рассмотрим отдельно два случая: |
|
|
||||||
1) g + |
gJrJ = 0 |
для |
всех |
g <= К- |
Полагая g = |
1, |
на |
|
ходим г = |
— 1, откуда |
gJ = I |
при всех g. Это возможно, |
|||||
только если тело К коммутативно и J есть его тожде ственный автоморфизм. Таким образом, в этом случае
f ( y. х) = — f(x, у)-, |
(11) |
такая форма f называется кососимметричной билиней ной формой.
|
2) Существует такой |
элемент |
£ е |
К, |
что £ -f- XJrJ = |
||
= |
q Ф 0. Легко видеть, |
что r = |
q~'qJ. |
Положим gT = |
|||
= |
(q-llq)J И g(x, У) = |
qJf{x, у)\ тогда |
|
|
|||
|
= 1 |
для |
всех |
g e |
К. |
(12) |
|
|
g(y, |
x) = |
g{x, |
у)т. |
|
(13) |
|
Антиавтоморфизм Т, удовлетворяющий условию (12), называется инволюцией тела К, а полуторалинейная форма g со свойством (13) называется эрмитовой от носительно инволюции Т. Если тело К коммутативно
иТ — его тождественный автоморфизм, то соотношение
(13)превращается в равенство
g(y, х) = g(x, у); |
(14) |
в этом случае форма g называется симметричной били нейной формой. Если Т — нетождественная инволюция, то элементы а е К*, для которых а т= а, называются симметричными относительно Т, а элементы, для которых
26 |
Гл. I. Коллинеации и корреляции |
ат= |
—а (такие всегда существуют в силу сделан |
ного |
предположения) — кососимметричными. Если а —■ |
симметричный (соответственно кососимметричный) отно сительно Т элемент, то, полагая £s = аЛ^ат1 и Іг(х,у) = = ag(x, у), мы получаем инволюцию 5 тела К и полу торалинейную форму Іі относительно инволюции S, удо
влетворяющую условию |
|
||
/г (у, |
x) = (h(x, y))s, |
если |
а симметричен, |
h(y, |
х) — — (h{x, y))s, если |
а кососимметричен. |
|
Во втором случае форма h называется косоэрмитовой относительно инволюции 5.
Для того чтобы полуторалинейная форма f была эр митовой (соответственно косоэрмитовой), необходимо и достаточно, чтобы ее матрица А в произвольном ба
зисе |
пространства Е |
удовлетворяла |
условию *А — AJ |
(соответственно М = |
—А1). |
|
|
Это условие может быть выражено другим способом. |
|||
Если |
и — полулинейное относительно |
изоморфизма а |
|
отображение векторного пространства Е в векторное
пространство F, то отображение х ->-({«/', м (х)))° бу дет линейной формой на Е для любого элемента у' про странства F*, сопряженного к F. Следовательно,
(У', и (х)) = (‘и {у'), х)°, |
(16) |
|
где 1и — полулинейное |
отображение F* в |
Е* относи |
тельно изоморфизма о-1. Отображение 'и |
называется |
|
транспонированным к |
и. В частности, для |
корреляции |
Ф пространства Е на пространство.Е* относительно ан тиавтоморфизма J отображение *ф будет корреляцией пространства Е на пространство Е* относительно анти автоморфизма / -1; при этом
<ф(*)> У) = (‘ѵ (у)< хУ. |
(17) |
Эрмитовость (соответственно косоэрмитовость) полу торалинейной формы f, соответствующей корреляции ф, означает, что (ф = ф (соответственно (ф = — ф).
Мы доказали, что, умножая произвольную рефлек сивную форму на скаляр, можно добиться того, чтобы
§ 7. Ортогональные дополнения и изотропные подпространства 27
она стала эрмитовой или косоэрмитовой. Отныне мы будем рассматривать исключительно такие формы, и когда мы будем говорить о рефлексивной форме, это всегда будет означать, что она эрмитова или косоэрми това (и в обоих случаях, что / — инволюция).
§ 7. Ортогональные дополнения и изотропные подпространства
Пусть / — (невырожденная) рефлексивная форма на д-мерном пространстве Е. Для всякого подпростран ства У пространства Е множество У0 всех векторов пространства Е, ортогональных ко всем векторам из У, является подпространством в Е\ оно называется ортого нальным дополнением к У. В свою очередь У есть орто
гональное |
дополнение |
к |
У0. Если |
dim V = р, |
то |
||
dim У0 = п — р. Имеем |
(У -f |
W)0 = |
У°Г)W0, (УГ)й7)° = |
||||
— V°-{-W0 |
для любых |
подпространств V, W. Говорят, |
|||||
что |
подпространство У |
изотропно, |
если |
У П У0 ф {0}; |
в |
||
этом |
случае |
У0 также |
изотропно. |
Это |
условие эквива |
||
лентно тому, что ограничение формы / на У X У вы рожденно. Говорят, что подпространство У вполне изо тропно, если У cz У0; это эквивалентно тому, что огра ничение формы / на У Х У тождественно равно 0 (или что любые два вектора из У ортогональны). В этом слу чае р п — р, т. е. 2р ^ п. Индексом формы / назы вается наибольшая размерность ѵ вполне изотропных подпространств пространства Е; из предыдущего ясно,
что 2ѵ sg: п. Для |
любого |
изотропного подпространства |
|||
У подпространство |
У П У0 вполне изотропно. Заметим |
||||
также, |
что если |
У — вполне изотропное подпростран |
|||
ство и |
W — вполне |
изотропное подпространство, содер |
|||
жащееся в У0, |
то |
|
У + ІУ |
также вполне изотропно. От |
|
сюда |
следует, |
что |
если |
dim У = ѵ, то всякое вполне |
|
изотропное подпространство, содержащееся в У0, содер жится в У.
Неизотропное подпространство У пространства Е ха рактеризуется тем свойством, что У0 является дополни тельным подпространством к У. Форма / называется ани-.
зотропной, если ѵ = 0,
28 |
Гл. |
I. Коллинеации и корреляции |
|
Вектор х ф 0 |
называется изотропным, если f ( x , x ) = О |
(иначе говоря, если он ортогонален самому себе). Оче видно, что все векторы вполне изотропного подпростран ства изотропны. Обратно, предположим, что f(x,x) = О для всякого вектора х, принадлежащего подпростран
ству |
V. Из |
равенства |
f (х -f- у, х + |
у) = 0 |
при |
J f eV , |
|
у е |
V следует, что f{x,y) — s{f(x,y))J, где s = — 1, если |
||||||
форма f эрмитова, и е = |
1, если форма f косоэрмитова. |
||||||
Если пространство V не вполне изотропно, |
то, заменяя у |
||||||
на уЪ,, получаем, что |
для |
некоторого К ф 0 и |
|||||
любого I е К- Это возможно, только если К коммутатив |
|||||||
но |
и |
/ — тождественный |
автоморфизм. Очевидно, что |
||||
тогда |
форма |
f кососимметрична. |
В частности, |
если |
|||
f (х, х) = 0 для всех векторов х е Е, то форма f называет ся знакопеременной. Всякая знакопеременная форма ко сосимметрична. Обратно, если К — поле характеристики, не равной 2, то всякая кососимметричная форма на Е X Е знакопеременна.
§ 8. Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных форм
Пусть |
Е и F — два |
я-мерных векторых пространства |
|
над К и |
и — изоморфизм пространства |
F на Е. Если |
|
f — полуторалинейная |
форма на Е х Е |
(не обязательно |
|
невырожденная или рефлексивная), то отображение
(x,y)-^f(u(x),u(y)) будет |
полуторалинейной формой |
на F X F (относительно того |
же антиавтоморфизма те |
ла К)', говорят, что эта форма f\ получается перене сением формы / посредством изоморфизма и. Если А — матрица формы / в базисе (еі)і^г^„ пространства Е,
то А будет также матрицей формы /і в базисе простран ства F, образованном векторами я_1(ег) О ^ 1'^ ^ ) - В любом другом базисе пространства F матрица формы fi имеет, следовательно, вид 4JJAU, где U — обратимая ■квадратная матрица.
Говорят, что полуторалинейная форма f на Е~ХЕ и полуторалинейная форма /і на F X F эквивалентны, если fi получается из f перенесением посредством изо морфизма и пространства F на пространство Е\ тогда f получается из fі перенесением посредством изоморфиз
§ 8. |
Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных форм 29 |
|
ма и-1. Если А и А\ — матрицы форм f и f\ |
в каких-то |
|
базисах |
пространств Е и F соответственно, |
то эквива |
лентность форм / и /і равносильна существованию та кой обратимой квадратной матрицы Ü, что A\ = 4JJAU. Можно также сформулировать условие эквивалентно сти форм / и /і как существование базисов пространств Е и F соответственно, в которых матрицы форм / и одинаковы.
Проблема нахождения условий, при которых две по луторалинейные формы на Еу^Е эквивалентны, за исключением одной работы Жордана ([3], т. III, мемуар 69, см. также комментарии к этому тому, стр. XI), рас сматривалась только для рефлексивных форм1). Резю мируем кратко основные полученные результаты.
Прежде всего две эквивалентные формы должны иметь одинаковый ранг. Легко также установить, что две вырожденные рефлексивные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны ассоцииро ванные невырожденные формы (см. § 6). Таким обра зом, можно ограничиться рассмотрением невырожден ных рефлексивных форм.
Проблема эквивалентности полностью решена лишь для знакопеременных форм (над коммутативным те лом К). Такая форма f может быть невырожденной, только если пространство Е имеет четную размерность 2т. В этом случае можно показать, что в пространстве Е существует такой базис (называемый симплектиче-
ским базисом для формы /), что
f (eL, |
в/) = 0, если / ф і + |
in |
и |
і Ф / + |
m, |
f (et, |
ei+m) — — f (el+m, et) = |
1 |
для |
1 < i < |
m. |
(B § 11 будет доказано более общее утверждение.) Та ким образом, две знакопеременные формы на Е X Е, имеющие одинаковый ранг, всегда эквивалентны.
Для прочих рефлексивных форм над произвольным телом известны лишь некоторые необходимые условия эквивалентности. Первое такое условие состоит в ра венстве индексов (см. § 7; более точное необходимое
*) Автор не совсем прав. См., например, Ходж и Пидо [1*].—
Прим, перев.