ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
|
|
§ И. Свойства Т-форМ |
|
|
39 |
||||
из соотношения V П W — {0} |
вытекает, что никакой век |
||||||||
тор из V не ортогонален к W. |
|
|
|
|
|
||||
2) |
Если V ^ |
1, го |
существует базис пространства Е, |
||||||
составленный из изотропных векторов. В самом деле, |
|||||||||
существует изотропный |
вектор в е £ |
и второй |
изотроп |
||||||
ный вектор 6, такой, что f{a,b) = |
1. |
Плоскость Р, опре |
|||||||
деленная |
векторами |
а |
и |
Ь, |
иеизотропна. |
Пусть |
|||
(сі)і< (< п—2 — базис |
ортогонального |
дополнения |
Р°. По |
||||||
скольку f(b, а + й)=£0, |
в плоскости, |
определенной |
век |
||||||
торами b и а + Сі, существует такой |
изотропный |
век |
|||||||
тор е,-, что f{b,e;) — 1. |
Векторы а, |
b |
и е,- |
|
— 2) |
||||
образуют искомый базис.
Два подпространства V, W одинаковой размерности не всегда, вообще говоря, можно перевести одно в дру гое унитарным преобразованием пространства Е. Усло вие существования такого преобразования дается сле дующей фундаментальной теоремой, принадлежащей Витту [1] (см. также Полл [1] и Капланский [1]):
Для того чтобы существовало такое унитарное пре
образование |
и е Un(K,f), что и(Ѵ) = №, необходимо |
и достаточно, |
чтобы ограничения формы / на V X У и |
W X W были |
эквивалентны. |
Доказательства требует лишь достаточность этого
условия. |
Пусть V — такое линейное |
отображение |
про |
||
странства |
V на пространство W, что f(v(x), |
ѵ(у)) = |
|||
= f(x,y) |
при х , у ^ Ѵ . |
Достаточно |
доказать, |
что |
ото |
бражение V может быть |
продолжено до преобразования |
||||
u ^ U n. Доказательство, |
которое мы |
наметим, |
принад |
||
лежит Шевалле [1]. Будем доказывать теорему индук цией по размерности пг подпространств V и W. Приме няя предположение индукции к (т — 1) -мерному под пространству U пространства V, мы можем с самого начала считать, что ѵ(х) = х при x ^ U . Рассмотрим, далее, подпространство Uі наибольшей размерности среди подпространств, содержащих U и обладающих следующим свойством: отображение ѵ может быть про должено до такого линейного отображения w подпро
странства V- \ - Uu |
что |
f ( w ( x ) , w ( y ) ) = f ( x , y ) |
при |
|
х, г / е Р + Д і и ш(х) |
= |
X при х е |
Заменив |
V на |
V-\-U 1, можно предполагать, что U\ = |
U, т. е. что отобра |
|||
жение V не может быть продолжено на подпространство
і
40 |
|
|
Гл. I. Коллинеации и корреляции |
|
|
|
|
|||||||||
V\ ZD V |
таким |
образом, |
|
чтобы |
f(v(x), |
v ( y ) ) = f ( x , y ) |
||||||||||
при X , |
|
|
|
и чтобы в У] существовали векторы, |
||||||||||||
инвариантные относительно о и не лежащие в U. |
||||||||||||||||
Поскольку результат очевиден при |
U = |
V, |
можно пред |
|||||||||||||
полагать, |
что |
V — U + |
аК, |
где |
а ф U. Положим b — |
|||||||||||
— ѵ(а); |
|
ясно, |
что |
Ьфі / . |
|
Можно |
также |
считать, |
что |
|||||||
V ф Е. |
Попытаемся |
продолжить |
ѵ на |
подпространство |
||||||||||||
размерности |
m + 1. |
Для |
этого |
нужно |
найти векторы |
|||||||||||
z ф V, z' ф У /, |
удовлетворяющие |
следующим |
условиям: |
|||||||||||||
(А) |
z' — z |
ортогонален |
к |
|
U, |
f ( z , a ) =f ( z ' , b ) |
и |
|||||||||
f(z, z) = |
f(z', z'). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда можно будет продолжить отображение ѵ на |
||||||||||||||||
подпространство V + zK, |
положив |
v(z) = |
z'. |
|
|
|
||||||||||
Заметим, что из-за максимальности подпространства |
||||||||||||||||
U невозможно, |
чтобы условия (А) удовлетворялись при |
|||||||||||||||
z’ = z, т. |
е. |
чтобы вектор z' = |
z, |
не принадлежащий ни |
||||||||||||
V, ни W, |
был ортогонален к b — а. Отсюда следует, что |
|||||||||||||||
гиперплоскость |
Я, ортогональная к b — а, |
содержится |
||||||||||||||
в V или в W. Это означает, в частности, что пг = |
п — 1. |
|||||||||||||||
Предположим |
для |
определенности, |
что Н = |
V. |
Тогда |
|||||||||||
f(a,b — a ) = |
0 |
и |
f ( a , b ) = f ( a , a ) = f ( b , b ) , |
так |
что |
|||||||||||
f {b,b — а) = 0 |
и, значит, b е Я и Н = |
W. |
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, доказательство свелось к случаю, |
||||||||||||||||
когда подпространства |
V и |
W совпадают |
с |
гиперпло |
||||||||||||
скостью |
|
Я, |
ортогональной |
к |
b — а. |
В |
этом |
случае |
||||||||
b — а — изотропный |
вектор, ортогональный |
к |
векторам |
|||||||||||||
а и b и к подпространству U. Попытаемся сделать так,
чтобы выполнялись условия |
(А), взяв в качестве z про |
||||||||
извольный вектор, не лежащий в V. Будем искать век |
|||||||||
тор |
z' в |
виде г' = г -f с + |
(6 — а)\, определяя с |
и | |
|||||
с помощью условия (А). Прежде |
всего, вектор с дол |
||||||||
жен |
быть |
ортогонален |
к |
U. Из |
условия |
f(z',b) |
= |
||
= f(z, а) |
получаем f ( c , b ) = —f(z,b — a ) = $ = £ 0. |
Так |
|||||||
как |
b ф U, |
то существует вектор |
с е Я0, |
для |
которого |
||||
f(c,b) = |
ß. |
Этот вектор |
не |
может |
быть |
ортогонален к |
|||
а, так как в этом случае он был бы ортогонален и к ги
перплоскости |
H = Ü - \ - a K |
и, следовательно, |
к Ь\ зна |
||
чит, f(c, а) = |
а ф |
0. Итак, f(z', b — а) = f(z, b — а) + |
|||
+ /(с, b — а) |
= —f{c,a) = |
—а ф 0, |
откуда |
видно, что |
|
z' ф Н при любом |
Остается определить £ из условия |
||||
f(z',z') = f(z,z ). |
Поскольку / есть |
Г-форма, |
получаем |
||
|
§ 11. Свойства Т-форм |
|
41 |
||
следующее |
соотношение: |
ag + |
= |
f {z -f c, z |
-f c) — |
— f(z,z) |
так что |
можно |
взять £ = a-1 |
А. |
|
Перед |
тем как делать |
выводы |
из |
теоремы |
Витта, |
укажем, что для того, чтобы подпространство У могло быть преобразовано в W посредством унитарного по добия, необходимо и достаточно, чтобы ограничение
формы / |
на W X W было эквивалентно ее |
ограничению |
на У X |
У, умноженному на элемент р, из |
группы мно |
жителей M(f) (см. § 9).
Из теоремы Витта получаются следующие резуль таты:
3) Если V и W — два вполне изотропных подпро странства одинаковой размерности, то существует такое
преобразование |
и е Un(K,f), что |
и(Ѵ) = W. |
4) Всякое |
вполне изотропное |
подпространство V |
пространства Е содержится во вполне изотропном под пространстве максимальной размерности ѵ.
В самом деле, пусть W — вполне изотропное подпро странство размерности ѵ и У і— подпространство в W, размерность которого равна размерности У. Тогда су
ществует |
такое |
преобразование |
« е Un(K,f), |
что |
||||
«(У[) |
'= |
у. |
Подпространство |
u(W) |
удовлетворяет |
по |
||
ставленным условиям. |
|
|
|
|
||||
5) |
Пусть |
У, |
W — вполне |
изотропные |
подпростран |
|||
ства максимальной размерности ѵ, |
причем |
УГЛУ7 = |
{0}. |
|||||
Тогда |
подпространство М = |
У + W неизотропно |
(раз |
|||||
мерности. 2ѵ), поскольку всякий изотропный вектор, |
|
ортогональный к У, содержится в У (см. § 7). По той |
|
же причине подпространство М° (размерности |
п — 2ѵ) |
не содержит никакого изотропного вектора. |
Если те |
перь Уь |
W1 — два других вполне изотропных подпро |
|||
странства размерности ѵ, для |
которых Уі Л Wt — {0}, |
|||
то существует такое |
унитарное |
преобразование и, |
что |
|
и(У) = |
У, и u(W) = |
W\. Это следует из теоремы Вит |
||
та и из |
существования базисов |
подпространств У + |
W |
|
и Уі + |
описанного в п. 1 типа. Так как и(М°) = |
М°\> |
||
то ограничения формы / на A40 X A40 и на A4? X A4? эк вивалентны. Ограничение формы f на А4°ХА4°, которое определено, таким образом, однозначно с точностью до эквивалентности, называется приведенной анизотропной
42 Гл. 1. Коллинеации и корреляции
формой формы /. Для того чтобы две эрмитовы формы были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый индекс и чтобы их приведенные анизотропные формы были эквивалентны.
Если К — упорядоченное поле (по необходимости ну
левой характеристики) |
и |
f — симметричная форма, то |
|||||
элементы |
с{ = 1!і (<?і + |
еі+ѵ) , сі+ѵ = |
>/2 (е,- — еі+ѵ) (1 |
||||
^ і |
^ ѵ) |
образуют ортогональный |
базис |
подпростран |
|||
ства |
М = |
V + W, |
причем |
f(ch с,) = |
Ѵг и f (с1+ѵ, сі+ѵ) = |
||
= —1І2 при 1 ^ і |
V. |
Дополняя систему |
(с;)|<і<2ѵ До |
||||
ортогонального базиса пространства Е при помощи ор
тогонального базиса |
|
{Сі)2ѵ<і < пподпространства |
М°, мы |
||||||||
видим, |
что |
ѵ ^ Min (р, п — р), |
где |
р — число |
таких |
||||||
индексов t, |
что f(cit с,) > 0 . |
Если, кроме |
того, |
поле К |
|||||||
евклидово, то можно |
считать, |
что f(cit с,) |
= |
1 при всех |
|||||||
і > |
2ѵ |
или |
f(Ci, Cj) |
= |
— 1 при |
всех і |
> |
2ѵ, |
поскольку |
||
М° |
не |
содержит изотропных |
векторов. |
В |
таком |
случае |
|||||
V = |
Min (р,п — р). |
Эти результаты легко распростра |
|||||||||
няются |
на |
эрмитовы |
формы |
в случае, |
когда |
К — квад |
|||||
ратичное расширение упорядоченного поля или обоб щенное тело кватернионов над упорядоченным полем.
Заметим, наконец, что теорема Витта и утверждения 1)—4) этого параграфа справедливы также для знако переменной формы }.
§ 12. Квазиотражения и сдвиги в унитарных группах
Проблема классификации преобразований, принад лежащих группе Un (К, f) или GUn(K,f), или r U n(K,f),
состоит в отыскании условий, при которых два преоб разования и, V, принадлежащие одной из этих групп, сопряжены в этой группе. Мы изучим только частные случаи этой проблемы. Более полное исследование про ведено в работах Жордана ([3], т. III), Спрингера [1], Якобинского [1] и Уолла [2].
Заметим вначале, что если подпространство V про странства Е инвариантно (в целом) относительно некото рого преобразования из r U n(K,f), то его ортогональное дополнение Ѵ° также инвариантно (в целом) относи тельно этого преобразования. Если V неизотропно, то тдкое преобразование определяется сзоими ограниче