Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

§ 12. Квазиотражения и сдвиги в унитарных группах

43

морфизмы тела

К и

множители, соответствующие ѵ и

w, одинаковы.

(Здесь

р =

dim V, /і и /2 — ограничения

формы / на V X V и

Ѵ° X

соответственно.)

Рассмотрим

теперь преобразования из r U n(K,f),

группе

GUn(K,f), а

если

V не вполне изотропно,

то

группе

Un(K,f)- Пусть

Xі = V П Ѵ° и

U — дополнитель­

ное подпространство

к

в

V. Тогда

преобразование

и

Если Рі =

{0}

(т. е. V неизотропно),

то такие

преобра­

зования

и

образуют

группу,

изоморфную

группе

Un- P{K, /г)

(в тех же

обозначениях,

что и выше). Дру­

гой

крайний

случай — это

когда

V вполне

изотропно.

Ограничимся

случаем,

когда

V — вполне

изотропное

подпространство

максимальной

размерности

ѵ, причем

2ѵ = п. Пусть

W — вполне

изотропное подпространство,

дополнительное

к

V,

и

(ег)1<і<9ѵ — базис

пространства

Е

описанного

в

п.

1

§

11

типа.

Положим и(х) =

= х-\-ѵ(х). Из соотношения f(u(x),

и(у))

— f(x,y) по­

лучаем

прежде

всего,

что

f(x,v(y)) = 0

при х ^ Ѵ ,

y ^ W .

Это

означает,

что

ѵ — линейное

отображение,

аннулирующее V и отображающее W в V. Далее, при

xs=

W, y ^ W

получаем

(для эрмитовой формы /) соот­

ношение / (х, V (у) ) + / (у, V (х))J =

0.

Матрица

преобра­

зования и в базисе

(е*)

имеет вид

чтобы соответствующие матрицы S] и S2

(или, что то

же самое, косоэрмитовы формы f(x,Vi(y))

и f{x,v2(y))

в

пространствах W\ и

W2 соответственно)

были экви­

валентны.

Рассмотрим унитарные преобразования, оставляю­

щие на месте все элементы еипврплоскости V, т. е. уни­

тарные

растяжения и сдвиги (см. §

2).

Если V неизо­

тропно

и а — вектор, ортогональный

к

V,

то и(а)—аа

и

aJf(a,a)a = f(a,a).

Такое преобразование и назы­

вается

квазиотражением относительно

гиперплоскости

взять

et = — 1

(тогда получается отрсюісвнив относи-

тельно

V). Если характеристика тела К равна 2, то при

f ( a , a ) = X + XJ

возьмем a = X~'XJ-, тогда aJXa = X и

ным к V. Такой

сдвиг представляется в

виде х —*

X+ aXf (а, х ),

где ^ — кососимметричный

элемент

Пусть

и — некоторая

полуинволюция

в группе

EUn(K,f)

относительно автоморфизма о тела

К. Пусть

и2(х) = ху и f(u(x),u(y))

= e { f ( x , y ) ) a. Перепишем в

этом случае соотношения

(I), (2), (21) и (22):

(24)

находим, что

(25)

у 1у = ееа.

Мы будем предполагать в этом параграфе, что у не

представляется в виде ХХа (случай А)

§ 3). Образуем

квадратичное расширение Ко — К(р)

тела К, в кото­

ром р2 = у и т]р = рт]° при г) е К, и превратим прост­

над

Ко,

полагая

= х\ + и (х) г; при £ = | + РЛ е Ко

и ^

е £ .

Полученное векторное пространство обозначим

значное соответствие

х' -*-*■ х'о между

пространством

Е*, двойственным к Е, и пространством

Ео, двойствен­

ным к Е0, при котором

(х'0, х) =

(x',

х) +

р (x',

и (х))ау 1

(26)

для всякого

х ^ Е .

Кроме

того,

при помощи

формул

(24) и (25)

можно показать, что инволюция /

может

быть распространена на

Ко таким образом, что pJ =

= реау~1. В

соответствии

с

формулой (26), корреляции

<Фо W, У) = <Ф W . У) +

Р <Ф(х)> « (У)У У~'-

(27)

Из

(24)

и (25)

выводится,

что фо(л'£) = (/фо (я)

при

любом I е

Ко] иначе говоря, фо есть корреляция. Далее,

если

*ф =

еф,

е =

± 1,

то и 'фо = Бфо* В самом

деле, из

формулы (27)

следует,

что

<ФоМ> УУ — е (фо('/). х)е=рК

при

любых х ,у ^ Е 0;

однако

это

выражение

является

линейной

функцией от

х (над Ко)

и не может прини­

сивной формы fo{x,y), ассоциированной с

корреля­

цией ф0:

fo(х>y) — f (х>У) + Р Q іх>и (у)))° V"1.

(28)

вию ѵи =

иѵ • а (а е К),

из которого вытекают соотно­

шения (3)

и (4); кроме

того, ф(о(л:)) — hv(q>(x)),

где

h — симметричный элемент тела К. Известно (см. §

4),

сделать,

то

из формулы (28)

будет

следовать, что

fo(v(x),

ѵ(у))

— h(fo(x, у)) х(^рК

при

любых x< = £ 0,

у е £о;

но так как это выражение при фиксированном х

храняет (в

целом) К и удовлетворяет условию

рх =

ра

(где а ^ К )

и если его множитель принадлежит

К.

За­

§ 14. Полуинволюции в унитарных группах. Второй случай

47

§ 14. П о л у и н в о л ю ц и и в у н и т а р н ы х г р у п п а х

и и х ц е н т р а л и з а т о р ы . В т о р о й с л у ч а й

В

обозначениях § 13 предположим теперь, что у =

=

Заменяя и на и ■Х~1 (что приводит к изменению

тождествен автоморфизм а или нет.

А)

а =

1 и, значит, е2 = 1. Есть три

возможности:

А1) Характеристика тела К не равна

2 и е =

1; то­

гда и — инволютивный элемент группы

Un{K,f).

Легко

видеть, что всякий вектор из U+ ортогонален ко вся­

кому вектору из и~. Отсюда вытекает,

что подпростран­

ства

U+,

U~ неизотропны; каждое из

них есть

ортого­

пары дополнительных

ортогональных неизотропных под­

пространств V, W линейное преобразование и, опреде­

ленное равенствами

и ( х ) = х

при х е

V

и

и(х) = —х

при X е

W,

является

инволютивным элементом

группы

и п(К, п.

V— полуподобие

с

множителем

h,

соответ­

Пусть

ствующее автоморфизму т тела К, и пусть

ѵи = иѵ ■а.

Из условия (4) находим,

что а2 =

1, т. е. а =

± 1 . Слу­

чай ѵи =

—иѵ возможен,

только

если

U+ и

U~ имеют

одинаковую

размерность.

Если

Я — группа

полуподо-

бий, проективно перестановочных с и,

и Я0 — централи­

затор элемента и в ГЯ„,

то

Я0 — подгруппа

индекса 1

произведения

ГИѴ{К, /і) X ГЯп_.р(Я, / 2)

(где р =

= dim U+, /]

и f2— ограничения f на Я+ХЯ+

и Я~><Я-

одинаковые автоморфизмы и множители.

А2) Характеристика тела К не равна

2 и

е = — 1.

Из соотношения Ңи(х),

и (у)) = —f(x, у)

немедленно

следует, что U+ и

Ѵ~ — дополнительные

вполне