ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.07.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 0
30 Гл. I. Коллинеацт и корреляции
условие будет найдено в § И ). Во-вторых, если тело К коммутативно, дискриминанты двух эквивалентных форм (см. § 5) должны принадлежать к одному классу мультипликативной группы К* по модулю подгруппы «норм» XXJ.
Если рефлексивная форма f не кососимметрична, то в пространстве Е существует ортогональный базис для
формы /, т. е. такой базис |
(еі ) і ^ г<„. что |
||
f(eh et) = 0 |
при |
і Ф j. |
|
Кроме того, полагая f (ег-, е,) = |
у,-, |
получаем, что у{ = |
|
= у р если форма f эрмитова, и у\ = |
—ур если форма / |
||
косоэрмитова. Доказательство существования такого базиса можно провести индукцией по п: в пространстве
Е |
существует неизотропный вектор ер, гиперплоскость |
Н, |
ортогональная к еь не изотропна и дополнительна |
к е\К\ так как форма f не кососимметрична, то по пред положению индукции существует ортогональный базис для ограничения формы f на Н, откуда и вытекает до казываемое утверждение.
Единственный случай, оставшийся в стороне, — слу чай симметричных, но не знакопеременных форм над телом характеристики 2 — будет рассмотрен в § 10.
Существование ортогональных базисов позволяет в некоторых случаях решить проблему эквивалентности.
Например, если К — алгебраически замкнутое поле и
/ — невырожденная симметричная форма на |
ЕУ.Е, то |
существует такой ортогональный базис (е,) |
простран |
ства Е, что f(ei,ei)— 1 при 1 ^ і ^ п (такой |
базис на |
зывается ортонормированным) . Таким образом, в этом случае две симметричные формы одинакового ранга всегда эквивалентны. Если К — евклидово упорядочен ное поле (т. е. из каждого неотрицательного элемента
извлекается квадратный |
корень) |
и |
/ — невырожденная |
|
симметричная |
форма на |
Е X Е, |
то |
существует такой |
ортогональный базис (е,) |
пространства Е, что f(ei,ei) = |
|||
= 1 при 1 < |
і < р и f(eu ві) = —1 |
при р + 1 < і < п. |
||
Кроме того, если К — произвольное упорядоченное поле,
то при любом ортогональном базисе |
(е{) пространства |
Е для невырожденной симметричной |
формы / число р |
§ 8. |
Эквивалентность рефлексивных полуторалинейных форм |
31 |
|||||||
таких |
индексов |
і, что |
у,- = f (eit eY) > |
0, одно |
и |
то |
же |
||
(закон |
инерции |
Сильвестра). |
Пара |
(р, п — р) |
назы |
||||
вается |
в этом |
случае |
сигнатурой |
формы f, |
а |
число |
|||
п — р — ее индексом инерции. |
Две |
эквивалентные фор |
|||||||
мы должны иметь одинаковую сигнатуру; над евклидо вым полем это необходимое условие эквивалентности является также и достаточным. В § 11 будет показано, что для упорядоченного поля К всегда имеет место не
равенство V ^ Min(р,п — р)\ |
в |
случае евклидова поля |
К оно превращается в равенство. |
из q элементов харак |
|
Если К — конечное поле |
Fg |
|
теристики ф 2, то для всякой симметричной формы f
существует |
такой |
ортогональный |
базис |
(е,:), |
что |
|
де*, еі ) — 1 |
при |
l ^ i |
— 1 и |
либо |
f(en, en) = |
1, |
либо /(е„, еп) = б, где 6 — элемент, не являющийся квад ратом в поле FQ (известно, что квадраты образуют в мультипликативной группе Fg подгруппу индекса 2; см. Диксон [1], стр. 158). Таким образом, над полем Fg имеется два класса эквивалентных симметричных форм ранга п. Для форм первого класса дискриминант Д (от носительно произвольного базиса) есть квадрат в поле Fg ; для форм второго класса он не является квадра том. Если п = 2пг -j- 1 нечетно, то всякая форма второго класса получается из формы первого класса умножением на б; в этом случае индекс всякой симметричной формы
равен |
m = |
[п/2]. |
В случае когда п = |
2т четно, индекс |
равен |
т = |
п/2, |
если (— І)т Д есть |
квадрат в Fg, и |
т — 1 |
в противном случае. |
|
||
Для поля алгебраических чисел проблема эквива лентности симметричных форм полностью решена Мин ковским в [1] и Хассе в [2]. Современная теория сим метричных форм над таким полем тесно связана с из
учением алгебр Клиффорда (гл. II, |
§ 7). Эта теория и |
ее обобщения изложены, например, |
в работе Витта [1] |
и в книге Эйхлера [2], к которым мы и отсылаем чита теля ').
Пусть Кв — упорядоченное |
поле, |
К = К0{]/ — 1) — |
квадратичное расширение и / |
есть |
До-автоморфизм |
поля К, отличный от тождественного, |
такой что К0 есть |
|
1) См. также книгу О’Мира [7*]. — Прим, перев.
32 Гл. I. Коллинеации и корреляции
множество элементов, симметричных относительно J. Если f — эрмитова форма на Е X Е и (е,-) — ортогональ ный базис пространства Е относительно формы /, то
число таких индексов і, что |
у,- = f{eit е{) > 0, |
не зави |
|||
сит от выбора |
ортогонального базиса (закон |
инерции). |
|||
Этот |
результат |
справедлив |
также, если |
К — обобщен |
|
ное |
тело кватернионов над |
Ко и J — его |
единственная |
||
инволюция, множество инвариантных элементов кото
рой |
совпадает с Ко- Если, кроме того, Ко — евклидово |
поле |
(а К — либо его квадратичное расширение, либо |
тело кватернионов над Ко), то необходимое и достаточ
ное условие эквивалентности двух эрмитовых форм над К состоит в том, чтобы они имели одинаковую сигна
туру. Укажем также, что если |
Ко — евклидово поле, а |
|||
К — тело кватернионов над Ко, |
то для всякой косоэрми |
|||
товой формы f |
на Е Ж Е существует |
такой |
ортогональ |
|
ный базис (е,), |
что /(e f, е,) = / |
при |
1 ^ і ^ |
п, где / — |
фиксированный кватернион, квадрат которого равен — 1. Таким образом, в этом случае две косоэрмитовы формы
одного ранга |
всегда |
эквивалентны |
(Дьёдонне |
[13], |
||
стр. 383). |
|
теперь, что Ко — произвольное |
|
|
||
Предположим |
конеч |
|||||
ное поле Г,, |
К — его |
квадратичное |
расширение |
К, |
и |
|
/ — единственный |
/(o-автоморфизм |
поля |
от |
|||
личный от тождественного. Тогда для любой эрмитовой формы на Е X Е существует ортонормированный базис; иначе говоря, две эрмитовы формы одинакового ранга всегда эквивалентны и, следовательно, все эрмитовы формы имеют максимальный возможный индекс [п/2]. Это немедленно вытекает из того факта, что каждый элемент поля Ко является нормой некоторого элемента из К-
Заметим, наконец, что проблема эквивалентности эрмитовых форм над полем алгебраических чисел, а также эрмитовых или косоэрмитовых форм над телом, центром которого служит поле алгебраических чисел, была решена Ландгером [1], [2], Раманатаном [1], Цукамото [1] и Сатаке [1] ').
‘) См. также Джекобсон [4*], Шимура [1*], Якобовиц [1].—
Прим, перев.
§ |
9. Унитарные группы |
33 |
|
§ 9. |
Унитарные |
группы |
|
Пусть f — (невырожденная) |
рефлексивная форма |
на |
|
Е X Ё, соответствующая инволюции / тела К■ Биектив |
|||
ные линейные отображения и пространства Е на себя, для которых форма f равна своему перенесению по средством и (см. § 8), т. е.
f(u(x),u{y)) = f(x,y) при x e = E , y z = E , |
(18) |
называются унитарными преобразованиями простран ства Е относительно формы /. Они образуют подгруппу в группе GLn(K), которую мы будем обозначать через Un(K,f) и которая называется унитарной группой от п
переменных над телом К относительно формы f. |
|
||||
Соотношение (18) может быть записано другим |
спо |
||||
собом. |
Если ер — корреляция, |
ассоциированная с |
фор |
||
мой |
/, |
и й —'и-1 — преобразование, |
контраградиентное |
||
к и, |
то соотношение (18) эквивалентно тому, что . |
|
|||
|
|
(ф (І£ М ), «0/)) = <ф(*)> |
У) = (й(ч>(х)), и (у)), |
|
|
и, поскольку и (у) пробегает |
вместе |
с у все простран |
|||
ство Е, это в свою очередь эквивалентно равенству |
|
||||
|
|
Ф {и (х)) = й (ф (х)) для всех |
г е £ . |
|
|
Более общо, пусть и — коллинеация пространства Е от носительно автоморфизма тела К, который мы будем обозначать через а или аи. Мы будем говорить, что кор реляция ф и коллинеация и проективно перестановочны,
если существует такой скаляр ги, что
Ф {и(х)) = гий (ф(х)) для всех х ^ Е , |
(19) |
где по-прежнему й = Іи~1— коллинеация пространства Е*, контраградиентная к и (и соответствующая тому же автоморфизму о тела К, что и и). Это соотношение эк вивалентно тому, что
<Ф (и (х)), и (у)) = (гий (ф (*)), |
и (у)) |
|
для всех г е £ , у ^ Е . В силу формулы |
(16) |
это в свою |
очередь эквивалентно равенству |
|
|
f {и {х), и (у)) = ги(/ {х, у))а. |
(20) |
|
2 Ж. Дьёдонн*