Файл: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.pdf

Ограничимся рассмотрением централизатора Н0 инво­

на U+ принадлежит группе r Un(Kufi), где fl — ограни­ чение формы / на U+X,U+. Автоморфизм т тела Кі, со­

жить коллинеацию v ^ r U n(Ki,f\) ло коллинеации про­

то при этом также ѵ принадлежит Я0. Итак, группа Н0 изоморфна подгруппе группы Гип{К\, /і), образованной такими полуподобиями, что соответствующие им авто­ морфизм т и множитель h удовлетворяют условиям (5),

(6) и (29) (для некоторого а е К і , зависящего от ѵ). Заметим, что эта подгруппа содержит в качестве нор­ мального делителя унитарную группу Un{Kuf\).

Группа Н в данном случае совпадает с централизатором

54 Гл. I. Коллинеации и корреляции

частный случай следующей общей проблемы, с другими частными случаями которой мы встретимся в § 8 гл. IV.

попарно проективно перестановочных. Требуется найти

использовать результаты § 4, 13 и 14 для определения группы Н коллинеаций ѵ, проективно перестановочных с полуинволюциями Ui и корреляцией ф, при помощи

рекуррентного процесса по числу q (Дьёдонне [14]).

Возьмем для этого полуинволюцию их и рассмотрим не­

этой группы, проективно перестановочный с ними и та­ кой, что его автоморфизм и множитель удовлетворяют условиям, указанным в § 13.

2) «1 удовлетворяет условиям случая В) § 14. Тогда

полуинволюции Ui ( 2 ^ i s ^ q ) , умноженные, если нуж­ но, на подходящие скаляры, могут рассматриваться как q — 1 полуинволюций в группе r U n(K\,fі), a ѵ — как элемент этой группы, проективно перестановочный с ними и такой, что его ' автоморфизм и множитель удовлетворяют условиям, указанным в § 14.

3) «1 удовлетворяет условиям случая А1) § 14. Если

подпространства U+ и U~ имеют различную размер­ ность, то они инвариантны относительно преобразований Ui ( 2 ^ . i ^ . q ) , а также любого элемента ѵ группы Я, и, с точностью до условий на множитель и автоморфизм,*)

*) В дальнейшем предполагается, что / — эрмитова или косо­ эрмитова форма, определяемая корреляцией ф в пространстве Е. Условие проективной перестановочности коллинеации ѵ с ф означает,

что V е Г б п (К, /). — Прим, перев.

соответствующие коллинеации ѵ, дело сводится к пер­

разницей, что мы переходим от группы Я к ее под­ группе Я0 индекса 2. Если, наконец, и2щ = —ихи2, то, заменив, если нужно, ut на и2ии можно предполагать,

к подгруппе Я0 индекса 2, можно ограничиться случаем,

Обратно, можно проверить, что хотя и не всякое такое преобразование ѵ' пространства U+ продолжается до коллинеации в е Я 0, но это всегда имеет место, если ѵ' принадлежит группе Un/2(K,f') и перестановочно с

( і > 3).

4)их удовлетворяет условиям случая А2) § 14. Если

няют подпространства U+ и U~,и, перейдя к подгруппе Н0 индекса 2 в группе Я, можно предполагать, что тем же свойством обладает преобразование ѵ. Ограничение V на U+ является коллинеацией этого пространства, проективно перестановочной с ограничениями на U+ полуинволюций Ui ( 2 ^ i ^ : q ) . Такая коллинеация не всегда продолжается до коллинеации ѵ е Я0; однако это верно для линейных коллинеаций ѵ' е GLnt2 (К), пере­

= f(u2(x),y), определенная при х е 1/+, у е U+, реф­ лексивна относительно антиавтоморфизма т/. В этом случае ограничение ѵ' коллинеации и на U+ должно принадлежать группе Гип\і (К, /') и быть проективно

перестановочно с ограничениями на U+ полуинволюций «і (3 < і ^ q) . Обратное опять-таки верно не всегда, но во всяком случае верно для коллинеации ѵ', принадле­ жащих группе Uп\ч {К, Г) и перестановочных с «і

3 ) .

§ 1 6 . К в а д р а т и ч н ы е ф о р м ы и о р т о г о н а л ь н ы е г р у п п ы н а д п о л е м х а р а к т е р и с т и к и 2

-f(x, х).

Предположим теперь, что К — поле характеристики 2. В этом случае квадратичной формой называют отобра­ жение Q пространства Е в К, удовлетворяющее тожде­ ству вида

где f — билинейная форма на E X E . Эта форма одно­ значно определяется по Q, поскольку из (33) вытекает, что

ное подпространство, ортогональное к Е. Если обозна­ чить через h ограничение формы Q на Е°, то при х^Е°, у е £° имеем