Файл: Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов.pdf

М. Ляйтхилл и Дж. Уитем, а затем Ф. Гендерсон [76] при рас­ смотрении кинематических волн в уравнении движения приравни­ вали нулю оба инерционных члена.

Таким образом, уравнение неразрывности (2.2) эти авторы со­ четают с уравнением равномерного движения (формулой Шези). Это упрощение привело к тому, что основной факт движения кине­ матических волн — изменение средней глубины потока с изменением расхода воды по некоторому универсальному закону — указанными исследованиями не был обнаружен.

Рассмотрим движение кинематических волн в более точной по­

Дальше будет показано, что такая форма русла хорошо аппрок­ симирует формы плёсовых лощин рек, а также формы больших и

72

Длинные волны будут кинематическими, если силы трения ве­ лики по сравнению с силами инерции (сила тяжести практически уравновешивается трением). Это условие будет удовлетворено, если положить приближенно

Равенство (4.14) обращает левую часть (4.13) в нуль. Таким образом, получаем

Уравнение Бретона (4.3) в случае призматического русла прямо­ угольного сечения записывается в виде

Вычитая из уравнения (4.15) уравнение (4.16) и умножая ре­ зультат на В, находим

Так как в случае кинематических волн Q = Qz(h, х), то в урав­ нении (4.17) h и х необходимо считать независимыми переменными. Отсюда

и мы имеем уравнение движения при распространении кинематиче­ ских волн в окончательном виде

dQ 2Q

(4.19)

dh h

Из равенства (4.18) следует, что когда кинематическая волна распространяется в призматическом русле, уклон свободной поверх­ ности равен уклону дна и скорость течения меняется вдоль потока только в силу изменения расхода воды

Дифференциальное уравнение (4.19) устанавливает связь между изменениями глубины и расхода. Общий интеграл этого уравнения

в призматическом русле глубина потока в фиксированном сечении меняется как корень квадратный из расхода воды.

73

Нормируем функцию F с помощью параметров движения: гра­ витационного ускорения g и ширины русла В

1

(4.22)

(£Я)'Л

Здесь М — безразмерная произвольная функция безразмерной продольной координаты. Перенеся выражение F по (4.22) в уравне­ ние (4.21), получаем

(gB)4'

В фиксированном сечении х = const будем иметь

Условия (4.10), наложенные на форму живого сечения, могут быть ослаблены. Если средняя глубина русла мала по сравнению с его шириной

и коэффициент береговых откосов имеет порядок единицы

то справедливы неравенства:

Учтя их в уравнениях (4.8) и (4.9), получим уравнения, которые будут отличаться от (4.11) и (4.12) только тем, что вместо глубины h прямоугольного сечения в них будет стоять средняя глубина Н = =со/В (Zp) сечения с произвольной формой, удовлетворяющей усло­ виям (4.25) и (4.26). Это значит, что уравнение (4.24) будучи пере­ писано в виде

действительно в живых сечениях всех призматических и цилиндри­ ческих русел, ширина которых по зеркалу воды В = В (zw) слабо ме­ няется с уровнем и велика по сравнению с глубиной. В эту катего­ рию русел попадают прямолинейные плёсовые участки рек и все большие и средние каналы.

Уравнение (4.28) выражает локальный закон подобия: средняя глубина потока Н будучи выражена в единицах длины Q'la(gB)~4* остается одной и той же при всех наполнениях меженного русла, в фазах подъема и спада паводка.

74

Разрешая уравнение (4.28) относительно расхода воды, находим

Уравнение (4.29) следует рассматривать как общую аналитиче­ скую основу всех однозначных кривых расходов. На всех устойчи­ вых гидрометрических участках расход воды меняется с наполне­

этот закон слабое влияние: в русле прямоугольного сечения расход изменяется как квадрат наполнения, а в русле параболического се­ чения, где В~Н'Ь, — как наполнение в степени 9h.

В русле прямоугольного сечения скорость меняется с наполне­ нием линейно, а в русле параболического сечения — пропорцио­ нально наполнению в степени 3/4.

Так как уравнение (4.30) удовлетворяется совместно с уравне­ нием Шези (4.14), то, исключая скорость U, получаем формулу для коэффициента Шези в функции поперечных размеров сечения и ук­ лона

Применив формулу Маннинга, приходим к выражению коэффи­

В соответствии с условием квазиравномерного движения (4.19) величину I следует считать постоянной. Отсюда получаем, что в ру­ сле прямоугольного сечения коэффициент шероховатости меняется при колебаниях уровней как наполнение в степени —7з, а в русле параболического сечения — как наполнение в степени —Ѵі2 - Мед­

ленное уменьшение коэффициента шероховатости плёсовых лощин с ростом уровней хорошо известно из опыта. В руслах, сложенных галечными грунтами, уменьшение коэффициента п с повышением уровней определяется в основном уменьшением относительной зернистой шероховатости d/H. В руслах с мелкозернистыми грун­ тами главную роль играет уменьшение относительной высоты гряд hr/H, однако величину /г,- нельзя при этом считать посто­ янной.

Переходя от явлений, развивающихся в фиксированном сече­ нии потока, к полной картине движения в призматическом или

75

цилиндрическом русле, мы должны рассмотреть функцию продоль­ ной координаты

я (?S)'/‘

(4.33)

Q'u

где B Q — характерная ширина русла (например, ширина между ме­

женными бровками).

Продифференцируем уравнение (4.33) по х. Приняв во внима­ ние условие (4.18), будем иметь

Уравнение (4.35) позволяет оценить быстроту изменения функ­ ции М вдоль потока. В равнинных естественных потоках со свойст­

венными им медленными колебаниями уровней производная— - , dt

стоящая в правой части (4.35), всегда мала. Если за масштаб ско­ ростей взять среднюю скорость течения U, абсолютные значения скорости изменения уровней, выраженные в этом масштабе, будут иметь порядок не больше ІО-5. Согласно (4.35), малыми должны

быть и абсолютные значения производной — ----- изменяемость

функции М (х) слабая. Это значит, что на участках призматических и цилиндрических русел ограниченной длины, а только с такими участками практика и имеет дело, допустимо полностью пренебре­ гать изменением величины М по потоку.

С помощью уравнения (4.35) попытаемся ответить также на следующий вопрос: существует ли и каков закон H = H(t) измене­ ния средней глубины во времени, при котором локальная инвари­ антность величины М (независимость М от времени) выполняется точно.

Взяв производную по t от правой части (4.35), приравняем ре­ зультат нулю. Учтя второе неравенство (4.27), получим

76