Файл: Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов.pdf

изойдет отложение наносов. В результате возникает шахматная цепочка углублений дна (на рис. 3.10 они показаны штриховкой) и шахматная цепочка отложений. Этот возмущенный рельеф дна уси­ лит искривление струй, возмущения будут нарастать, пока не сфор­ мируется устойчивая извилистая линия наибольших глубин. В ра­ ботах по морфологии рек в этих случаях говорят о русловом меандрировании или о меандрировании меженного потока, понимая под этим извилистость течения внутри меженного русла. Если бе­ рега легко поддаются размыву, то следующим шагом будет ис­ кривление берегов, т. е. переход к пойменному меандрированию.

Можно себе представить, что в русле очень большой ширины параллельно развиваются два или больше возмущений планового движения. Поток, а с ним и русло разделятся по ширине на не­ сколько фрагментов, каждый из которых будет повторять картину,

Рис. 3.10. Возмущения свободной поверхности при искривлении плановых линий тока.

изображенную на рис. ЗЛО. Этот процесс положит начало делению русла на рукава.

Постановка и решение задачи об устойчивости русла в описан­ ном виде принадлежит Р. Калландеру [59]. Перейдем к математи­ ческой формулировке задачи. Исходной будет система уравнений планового движения потока в деформируемом русле (2.27) — (2.30). Перепишем эту систему, исключив высоту дна с помощью равен­ ства 2 s = z,„ — /г и представив продольный градиент потерь энергии,

дне (индекс х у величины то, а также у проекции вектора удель­ ного расхода наносов qs будем опускать). Получим следующие уравнения:

63

+z'w. Перенеся эти равенства в систему (3.101) — (3.104), исполь­

зовав (3.105) и отбросив члены, нелинейные по переменным за­ дачи, получим

Чтобы замкнуть систему (3.106) — (3.109), свяжем возмущения касательного напряжения и расхода наносов с возмущениями про­ дольной скорости. Малость амплитуд возмущений позволяет вос­ пользоваться линейными соотношениями:

64

Возмущения элементов движения представим выражениями:

Здесь S, Т, R, Z — безразмерные комплексные функции. Волно­ вое число k и комплексная скорость с также безразмерны. Вслед­ ствие соотношений (3.110) и (3.111) возмущения касательного на­ пряжения и расхода наносов находятся в фазе с возмущениями продольной скорости. Возмущения V', h' и z'w могут быть смещены

по фазе относительно U'.

Подставив выражения для возмущений (3.116) — (3.119) в урав­ нения (3.112) — (3.115), после дифференцирования и сокращения экспоненты получим:

Система уравнений (3.120) — (3.123) дает возможность решить задачу об устойчивости планового движения потока в эродируемом русле. Опуская громоздкие преобразования, приведем общий ход решения.

Исключая из уравнений (3.120), (3.122) и (3.123) величины 5

dT

и R, получаем уравнение, связывающее Z с производной

dy

Решая это уравнение совместно с (3.121), исключаем Z и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для безразмерной амп­ литуды поперечной скорости

где Л — параметр, сложным образом зависящий от элементов не­ возмущенного движения, волнового числа k и комплексной скоро­ сти с. Интерес представляют собственные значения параметра А,

т. е. те его значения, при которых уравнение (3.124) имеет нетри­ виальные (не нулевые) решения. Чтобы найти собственные зна­ чения Л, используем граничное условие обращения амплитуды Т в нуль на линиях берегов

Из условий (3.125) следует, что собственные значения Л дол­ жны быть вещественными и положительными

R eA > 0 , Іш А =0.

Это сразу приводит к решению

где А — постоянная. Собственные значения Л определяются выра­ жением

(3.127)

Приравняв правую часть (3.127) выражению Л через элементы невозмущенного движения, волновое число k и скорость с и от­ бросив некоторые малые члены, получаем уравнение, в котором ве­ щественная и мнимая части могут быть разделены. Это дает два алгебраических уравнения для определения сти с,; тем самым мы решаем задачу об устойчивости.

Уравнения для сг и Сі ставят эти величины в зависимость от сле­ дующих шести безразмерных параметров, из которых первые че­ тыре характеризуют невозмущенный поток, а два последние — воз­ мущения:

Число n, входящее в последний параметр, представляет собою число полос с шахматными дорожками экстремумов zw и zs, на ко­ торые разбивается возмущенный поток. Значение п = 1 отвечает меандрированию, значения /г > 1 — делению на рукава.

Если касательное напряжение на дне определять по формуле

Таким образом, зная величины £Л>, /го, /о и qso и построив связь между qSQи ІІ0, мы можем найти все четыре параметра, характе­ ризующие невозмущенный поток.

66