Файл: Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения.pdf

говорят,

что

а -

решение

неравенства;

либо 2°) JCQ) > <j(a) ,

, т .ѳ .

суждение ложно и

говорят,

что а

не удовлетворяет

неравенству

j ( x ) + CjCX) .

Определение

3 . Решить нёравенство

-

значит

найти множество

всех

его

решений

в

области

определения

неравенства.

1 )

,

При этом,

может быть,

что

не

найдется ни

одного

решени

неравенства, тогда неравенство называют противоречивым.

2 )

. Другой крайний случай,

когда каждое число

л

из

област

определения неравенства является его решением, тогда неравенство

удовлетворяется тождественно.

И ещё/говорят в этом случае, что мы доказали тождественное

неравенство в области определения неравенства.

Замечания. I)

Как видно из определений, вопрос об истинности

функционального неравенства сводится при выбранном

значении а.

к

установлению числового

неравенства. Это

означает,

что мы предпола­

гаем, что между действительными числами установлен твёрдый и пол­

ный порядок (про два числа

а

и Ь

можно всегда

сказать,

что

либо

а > Ь ,

либо

а = 6 ,

либо

а<Ѣ ,

.и

даны соответствующие

определения и свойства этих соотношений порядка). Между комплекс­

ными числами такого порядка установить невозможно.

2) При решении данного неравенства мы строим цепочку равно -

сильных неравенств. В связи с

этим иы должны дать

определение

этого понятия и теоремы, подтверждающее

законность

переходов

от

одной строки выкладок к другой .. Сходные определения и теоремы

были даны при обосновании решения первой

задачи. Тем, кто их пом­

нит и знает, можно пропустить нижеследующую часть обоснования ре­

шения неравенства.

(следствие из неравенств). Неравенство Гсх)^-

Определение

4.

< G (x)

является следствием

неравенства

Jcx)-i^(x), если

первое

неравенство, верно

для любого

х

,

удовлетворяющего второму нера­

венству. При этом

допускается,

что могут

быть такие значения х >

при которых удовлетворяется неравенство

FCX ;-<GCX) , RO не

выпол­

няется неравенство

J сх) -с CJCX) ■

Определение

5 . Неравенства

F ( x ) < G ( x )

и

J(x)<<j(x) равносиль­

ны, если каждое из них является следствием другого.

Другими

словами,

каждое число, удовлетворяющее неравенству

F ( x ) < G ( x ) ,

удовлетворяет и неравенству

j(x )- c < j(x )1 а каждое

число, удовлетворяющее

и х )

-і

а ( х ) ,

■ удовлетворяет и F(x)-<G(x).

Отметим, что если множества решений неравенств Fcx)<G(x)

и j( X ) < c jc г;

пусты ( т .е . нет

ни

одного ч и сл а х .,

удовлетво­

ряющего или первому, или второму неравенству),

то эти неравенства

также считаются равносильными (иногда говорят эквивалентными).

Переход

от строки выкладок

(I) к строке (2) на стр. 16

осно­

ван на следующем утверждении:

ТЕОРЕМА I . Неравенство

1 (х )

^ а(х)

равносильно неравенству

<j(X)yjCX) . -

'■

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При х - а

получаются числовые неравенства

j ( a )

,

(jca)yJ(a). Второе

следует из первого и наоборот..

Переход от строки (2) к строке (3)

на

стр.

16 опирается

на

теорему.

ТЕОРЕМА 2 . Неравенства

j-(x) < Cj(x)

и

у (х)+1Сх)< угх)+ і(х)

равносильны,

если санкция

ѵ х)

имеет

смысл в области

определения

неравенства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из

jca) -і

уса)

следует,

что j(d ) +ua) <

■с

уса.) + гса) .

Обратно,

из

последнего

числового

неравен­

ства следует

числовое неравенство

у raj

^ra;.

(Подробное дока­

зательство аналогичного факта см. в теореме I в обосновании ре­

шения первой

задачи,

стр.

I I ) .

Следствие. Неравенство

jcx y -

jc x )

равносильно

неравенству

) [ ^ 0 ;

5) ' Х4 0;

6) ■ X -СО;

7)

х 4 0 \

&Х+5У0;

Ях+540;

Ях+540; .

В.х+540 \

Х+1 <0;

х+ыо;

х+1 ЧО;

Х +І40;

Х+Я<0;

Х+£<0;

<

<

Х+&40; .

x t £ 40;

Х+5 УО;

Х+ЗУО;

■X+3 40;

X+3 -W;

Х+Ч уО ■

Х+Ч УО.

х+ч >о.

Х+Ч УО.

решений даёт полный

ответ.

Заключительные

замечания. (I) Теория, обосновывающая решение

системы неравенств,

приводится в [33]. . (2) Затронем вопрос

о

душ вычислений) число, вычисляем jcx)

и

асх)

и смотрим, не

нарушается ли

смысл неравенства.

Решение

четвёртой задачи

Условие: построить график функции

у = х &+іхі

■

Пояснение. Если задана прямоугольная декартова система коор­

динат, то

графиком функции

у*Jcx)

называют множество

всех

точекъ/

с координатами

М ( х ; J ( x ) ) ,

. где

х

пробегает

область

определения

данной функции

(см. определение

2

на стр. 8 ) .

В нашем случае J c x ) - х^+іхі -I,- и точка графика имеет

коорди­

наты М (х ;х? + іхі - О

или

М ( X , у ) ,

где

у = х е+іхі-і.

Из пояснения получается,

что для каждой точки х найдётся

ного

набора ( у = Іх+6 , у -л г

y=k

, у - аХ і о х + е ; у =!xl

и другими).

Конкретно, данная функция

у ^ х ^ + іх і-!

определена для лю­

бых действительных х

и

обладает

свойством

чётности. Это значит,

ЧТО

j C ' X ) = j ( X ) ,

( - х ) г

+і

- х і

-1

= х 2+ і х і -1

Это

парабола,

ветви которой уходят- в полуплоскость

ух?.

Вершина параболы имеет

координаты

Ио ( - ^ ; ~ % ) . При х = о ,у = і,

т .е .

точка И

( С г , - 1)

находится на вертикальной

оси

О у .

Точки пересечения параболы с осью

Ох' найдём из

уравнения

Х?+Х-1=0;

х . - ± й .

l+fë'

м

п.

>'

2

’

2

’

2

Для построения графика при

х > о

нужны точки.

и Иz (

i ° ) ■

Остальные

(М0,

)

имеют отрицательные

абсциссы.

Сравним данную функцию '

t j = x s+ x - l

или

(в

более

удобном

виде)

у= (■

,

.

,

со

стандартной

функцией

=xz■

2

т

у

I2

я

График промежуточной функции

- (-Х* т>)

получается из гра­

фика основной функции

и - X 2,

сдвигом

(параллельным переносом)

вдоль

оси

Ох

нрд

влево, т .е , вершина параболы из

точки О

(0;0)

перейдёт

в вершину'A

( - g i O ) , ■

а

каждая ордината

графика

о

влево на

отрезок длины

I

параллельный гори­

у =х

сдвинется

д ■>

зонтальной

оси

Ох .

График нашей параболы

у=

2~ %

получится из

графика функции

у = ( х + ^ ) &

сдвигом

вниз

(вдоль вертикальной

оси

Оу

) на

отрезок

длины у •

У полученного