Файл: Богомолов С.И. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях.pdf

du

,

du

V

ô2w

T

=

- -

+

^

-

- S

i n

T .

b

=

sp>

(41)

rdl

d"-w

дѵ

\

,

sin

7 dw

1

/

дЧи

,

дѵ

\

sin

Y Idw .

т ^ т [ ъ ш + д х с

0

^ ) — ^ ( o T

+

ü c o s T

П ри этом (рис. 7) ось X направлена

вдоль

образу­

ющей

оболочки;

0 определяет положение сечения

на

кру­

ге поперечного сечения оболочки; г—радиус

произ­

вольного

кольцевого

сечения оболочки,

г = Гі +

X sin

у ;

7 — угол

конусности

оболочки;

Тъ

Т2,

Ni,

N2,

«Sj, S2

— соответственно

нормальные,

пере­

резывающие

и

скалывающие

Mі2,

М 2 і

усилия;

Мь

М2,

— изгибающие

и скручивающие

мо­

еъ

менты;

£2

— компоненты

продольной

дефор­

мации;

т — относительный

сдвиг;

Ч>

Ч — характеризуют

изменение

кри­

визны;

<аі — кручение

срединной

поверхности

V,

оболочки;

и,

w — проекции

смещения точки средин­

ной

поверхности

оболочки

па

образующую,

нормаль

и

ка­

сательную

к

кругу

поперечного

сечения

оболочки;

р — плотность

материала

оболочки;

21і — толщина

оболочки;

D — цилиндрическая

жесткость.

Перемещения

оболочки

как

функции

/',

0,

t

запишем

в

виде

и (х,

0,

t)

=

U

(х) cos

no cos

'(pt

+

е),

и (х,

0,

t)

=

V (х) sin пО cos

(pt + г),

(42)

w (х,

0,

t)

=

W

(х) cos/гѲ cos (pt

+

s),

где п — число волн

в

окружном

направлении;

р — значение

собственной

частоты.

Геометрические

уравнения

(41)

после

подстановки

(42) и дифференцирования

по 0 можно

записать

так:

Е і

=

^

cos нО cos (pt +

s),

e 2 =

— (U s i n y +

nV — W cos

Y) COS nO co s

(pt +

e),

1 —

^—nU

-\-

— У s i n

sin/гѲ co s (pt +

s)>

»!

=

j^r

cos /гО cos

(pt

-4- г) ,

1

( — / І 2 І У

+

/гУ cos т)

+

s

> n

T^cos ' 2 ° - C O S

(Р^ +

E )>

(43)

| г

т

л\ У — У C O S T )

sin

Y +

— I

—

« ^ -

+

^ - C 0

S

T j

X

X

s i n «0 cos

(pt +

e),

Подставляя

(43)

в

(40),

получаем

у (2 +

ч)

cos Y sin Y dW

, 2 — 2v —

3vg

cos Y d*\V .

2 ( 1 — v ) '

r 2

rf*

+

2(1

— v )

'

r

(/Л:2

+

2 + v

cos Y sin Y

v (2v +

1) cos Y C^W |

2 ( 1 — v j

/-3

dA-

2 ( 1 — v )

/• d.ï2

п cos 7 dW sin т / 0

c o s 2 f \ t

/ .

3 dV) .

а

,

, . .

h*r (

^ ) V +

p ^ j s . n n 8 c o s ( p /

+ £

) .

+

^ - ^ 1 У jcos /гО cos (p/ +

e),

(44)

+

1 cos2 y

| c o s

n (

) c o s

( p /

+ B ) i

M 1 2

=

- M 2

1

= D (1 -

V) j

^

l W -

s-±ipi

V

-

n

rfW

, cos 7 dVï .

„

.

,

, .

Уравнения (38), (39), (43) и (44) используются для

получения

системы

вида

§

= АХ,

(45)

где X — вектор-столбец

параметров

в кольцевом

сечении

оболочки

(37).

Коэффициенты

матрицы

А

опреде­

ляются

путем

следующих

преобразований.

Обозначим

обобщенные

скалывающее

и

перерезы­

вающее

усилия

соответственно

Q, = Si + c - ^ M 1 2 ,

а

-

м

^

( 4 6 )

Qz

— Рг cos ntj cos (pt - f e\

(47)

M1

= My cos m cos (pt + e).

2 3-631

33

Л

і - ^

+

^

+ ^ М - Л

*

,

)

,

48)

и подставляя

(48)

и

(43)

в

(47),

получаем

dU

Ii2

г,

V sin т

г 7

,

Л2

2 + ѵ

.

ѵ

,

- г =

w^Px

U 4-—

• - т г у т ^ — г

V sin

Y cos ï Z

+

dx

3D

г

1

r2

6(1

— v)

1

'

y cos 7 / .

_

h2

( 2 - f v ) ' i 2 \

™

_

v

n

„

_

"І"

л

[

r 2

6(1

— ѵ) j

W

г

У

h- cos Y

2 — 2v — 3v2

dZ

г

6 ( 1 — v )

dx'

dV

n j j .

h2n cos 7 7

nlr sin 7 cos 7

„ „

.

_ _

=

— (7

H

5

Z

л

^

w

-+-

d*

r

'

г 2

дТ,

dS-z

sin 7

,^

гт* \

t о / о2 "

àQy _

дТ2

sin 7

о ч

I

cos 7 dM)2

"ôF -

—

TdÖ

—

— ö*>

-r

— ТдТ ~~

sin 7 cos

7

, r, , д2ѵ

р—[M]2

+

2Phw,

dQz

sinjr / Q

_

2 ^МиА

_

о d a M l 2

Ô*

_

л

лоѲ j

" rdbdx

3Dn(l — v)dV

3 D n ( l

+

v) sin

7

„

+

2AV

ö*

A V

K

3D sin f cos -y

1

" 2

(3 —

ч —

v2 )

7W

}ï

6 ( 1 — v )

D cos -f

7

DN(1

+ 2ч)cos 7

^ £

2л3

(

l _ v ) n 2 4 - (

(I2

+

- V N

) ) s

i n

ï

2r ( 1 — v)

'

+

+ (1 - v) sin 2 T ] + w ]

V - 3 0 ( i - ; ) r s i " 2 £

(1 — v) sin 7

Зѵ (1 -{- ч) sin 7 cos 7

an —

, an

—

2^ä

D ( l - -

3 (1 4- v) s i n 2 T

4- A2

• 2л2 cos2 T - 2 Р Л р 2 ,