Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.07.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пример

Иайти операторное сопротивление цепи, схема которой приведена нарис. 2.13.

0-

гг(р)

Рис. 2.12.

Г,

То

Рис. 2.13.

Решение

Цель с.нулевыми начальнымиусловиями, значит, мож­ но найти эквивалентное операторное сопротивление

(г,* г,)ЬСрг + (rfr,C +r,rtÇ + r3r3C * L)p +гг*г3

Cp(r3 ігг * Lp)

118

Получилось очень сложное выражение для Z(p)

в

связи с тем, что решение получено в буквальном виде.

Если же будут заданы численные

значения параметров

элементов,то результат будет гораздо

проще.

 

Следует заметить, что максимальная

степень р

в

выражении дия Z(p) определяется числом

реактивных элемен­

тов схемы. В данной схеме два реактивных элемента и мак­ симальная степень р равна двум.

§ 7. Нахождение оригинала по известному иэображѳнию. Теорема разложения,;

В § 2-6 выяснялось, как найти операторное изображе­ ние заданной функции; как связаны между собой операторные функции, изображающие токи и напряжения для отдельных элементов; что такое операторное сопротивление цепи и как его найти.

Были сформулированы основные закона электрических цепей в операторной іуорме. Теперь необходимо выяснить, какпо найденной операторной функциифункции комплекс­ ного переменного J(p) или U(p) найти соответствующую

ей функцию времени, то есть мгновенное значение тока или

напряжения

Сі(і)

или u(t)J.

В § I было указано, что переход от функции комплекс­

ного переменного Fip)

к функции вещественнее переменно­

го f(t) совершается при помощи обратного преобразования Лапласа. Это самый сложный путь. Рассмотрим более простые пути:*

1)

использование

таб*-.и, оригиналов и изображений;

2)

использование

теоремы разложения.

I .

Использование

таблиц

Чтобы воспользоваться таблицей для определения ори­ гинала по найденному изображению, нужно изображение при­ вести к табличному виду. Предположим, требуется найти оригинал и(і) следующей операторной функции:

U(p)

 

л

 

 

 

 

 

 

р г

* гор

t и>/

 

 

 

где кроме оператора р ,

все вѳличилы-вещѳствѳнные поло­

жительные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

Привести к табличному виду

заданную операторную

Функцию можно, разложив'квадратный многочлен р''12(fp *

на простые множители (р -р,)(р

-р2)

,

 

где р,

и рг

корни, квадратного

уравнения

 

рг

* 20р + и>% = О .

Тогда получим :

 

 

.

д

 

 

 

 

U(P)

=

(р -р,)(р^Рг~)

 

Согласно таблице оригиналов и изображений

(приложе­

ние П, строка 9) f

 

I

 

t

 

_

-M)

 

Б нашем случае

О = ~pf ( à

-

-рг

•

 

 

 

Вчислителе функции б^имеется постоянная величина

А.Вспомним, что умножение изображении на постоянную величину соответствует умножению оригинала да ту же ве­ личину. Такимобразом, -оригинал аадаиной функции запи­

шется в виде:

.

 

или

Fl К

 

 

гі "г

 

Следует заметить, что прежде чем попользовать

табли­

цу, необходимо выяснить,какое преобразование положено

в

ее основ/, a КЫѲІІНОІ

преобразование Лапласа или Карсона.

2. Использование теоремы разложении.

Кратко напомним вывод теоремы разложения, данной в курсо высшей математики. Существуют различные способы вы­ вода теоремы разложения.

Один из них - использование теоремі. о вычетах. Сог­

ласно этой "геороыо, ѵйіій

f(p)

?= f(i'>

; то

f(i) e L

Reil riß)

s-31 •'

,

ции

где

~ число особых точек или число полюсов функ­

F(p).

 

При анализе переходных процессов в большинстве слу­

чаев F(p)

является правильной рационалыюй дрооьы.

Этот случай и рассмотрим.

с/

\

/ я ,

 

—

 

ГііРі

Итак, полагаем, что изображение г(р/ ~ ~ff(Ôy является

правильной рациональной дробью, то есть что числитель и

знаменатель функции F(p)

 

представляют собой многочлены

F1{p)^amf^am.ipm'\.

 

. .

+а,р+а0>

Ш = Ъ Р Я •

•

•

 

 

и выполняются условия:

 

 

 

 

1 )

т<п)

 

 

 

 

2) знаменатель не имеет кратких нулей.

В этом случав вычисление вычетов производится по фор

И, значит, оригинал функции Г[Р)

определяется вы-

Выражение (3.37) носит название теоремы разложения

(или формулы разложения).

 

Здесь

 

 

 

 

р - корни уравнения Fä(p)=0)

то есть нули знаме­

нателя функции F(p):,

 

'С'(Рк)~ числитель функции F(P)

при подстановке

А-го нуля знаменателя;

 

Г2 (ßK)

- производная знаменателя функции F(p) при

подстановке

л"

- го нуля знаменателя.

Число членов

суммы (3.3?) равно числу нулей знаме­

нателя.

 

 

 

 

Теоремой

разложения широко

пользуют..^ на практике,

и ее принято рассматривать как осьовной математический аппарат для определения оригинала поего изображению.

Пример

ДаШ:

fin).

і

.

"

 

%'jP^û)ip^o)

 

'

Найти оригинал L t\l}J.

используя

т<-->»ьиу разлило-•

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

I .

Убеждаемся в том, что показатель

 

степени р чис­

лителя (/77

= О) меньше.показателя степени

р знамена­

теля (У?

= 2) и что знаменатель не имеет кратких нулей,

то есть

теорему разложения применить можно.

г.

F,(p)

-

/;

 

 

.

 

 

 

Рг(р)

*(р*го)(р>50)

 

 

 

rip)J .

3.

Нули знаменателя [ полюсы функции

 

 

Fjß)

~(р*20)(р*50)

=0

 

 

 

4. Производная знаменателя

 

 

 

 

Fg[p)

в

р * 50 + р

* ZU = 2р

+70 .

 

5. Оригинал согласно

теореме разложения

 

f

W - k

 

F2'(pK)

e

2(~20)t70

Ѳ

 

 

 

 

1~

o50*

- ± g - 2 o t - 'J- p - s o t

 

 

 

 

2(-50) + '70 c

 

~ 30

 

30

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

_

J

 

=

±

p ' 2 0 t

J±

 

p-sot

 

 

1р + 20)(рф)

•

30

e

Me

 

•

§ 8. Расчет переходных процессов операторным

 

 

 

 

методом

 

 

 

 

 

. , Укажем два возможных порядка рас ізс:а для случая

ненулевых начальных условий.

'

 

 

 

I ,

Определить начальные

условия.

 

 

2) Состаиить систему дифференциальных уравнений

цепи после коммутации

(по методу уравнений Кирхгофа или

методу контурных.токов).

 

 

 

 

 

3.)Перейти от дифференциальных уравнѳий к их изобра­

жениям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Полученную систему операторных алгебраических

уравнений решить относительно неизвестных изображений.

5 )

От изображений перейти к оригиналам, используя

таблицы или теорему разложения.

 

 

 

Смотрите также файлы