Файл: Билан Н.А. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях.pdf

Скачать файл (6,00Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.07.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

è — ûo

Как видно, преобразование Лапласа отличается от пре образования Карсона отсутствием множителя р.

В настоящее время в технической литературе в равной степени используются оба преобразования.

Преобразование Карсона удобно тем, что изображение имеет ту же размерность, что и оригинал. Однако мы в даль нейшем изложении будем пользоваться преобразованием Лап ласа потому, что при использовании преобразования Лапла са выявляется единство операторного и спектрального мето дов.

Выражение'(2.2) называется пррмым преобразованием Лапласа; оно позволяет осуществить переход от исходной функции f(t) к новой функции F(py В литературе применяется также и другая условная форма записи прямог

преобразования Лапласа, а именно;

L[fU)hF(p).

Чтобы по известному		изображению F(pj		найти соответст
вующий ему оригинал			используется интеграл Броыви-г
ча, называемый также обратным преобразованием Лапласа
( 2 . 4 ) .	•*
	Ш=гТГ	I	Нр)"<Р.	(2.4)

Условная форма записи обратного преобразования Лап

ласа

§5. Некоторые теоремы операторного метода

иизображения простейших функций

I . Изображение постоянной^вѳличины

Изображение постоянной величины равно атой величине деленной На оператор р.

то

А.

М • Р	( 2 . 5 )
2. Умножение оригинала	на постоянную величину

Умножение оригинала на... постоянную величину приводит к умножению изображения на ту же величину.

Пусть	и.	Й^сопъі.
Тогда	-йФ]Щ-йе^аЬ-
Следовательно,
	ціуя^Нруй,	( 2 . 6 )
3 . TeopeM^ju^HejH£cTii_

Изображение суммы оригиналов равно сумме изображений каждого из оригиналов.

Пусть	"	Ш ^ ^ ( Р ) -
Тогда^ Ці) + & (	t ) ~ Д	Ь { t	h i k d i	=
Таким образом,	:ji(t)-e-pidt=Ff(p)		+	Fz(l>).

Дифференцирование оригинала по времени для случая ну левых начальных условий, когда при t = О, соответствует умножению изображения на оператор р.

Пусть № ) = НР),

р і

Если Jfo)=0,

то fl(i)làfF(p).

(2.9)

Полученные результаты дифференцирования оригинала при нулевых и ненулевых-начальных условиях легко распро

страняются	на производные высших	порядков.
Для нулевых начзльных условий
(n)	n
f	(t)=p F(t>),	(2.10)

103

дяя ненулевых начальных условий	^-м-*)- і ,
r i t ) ~p°[riF) - f ~ - f - - - V 1	j •

Интегрирование оригинала в пределах отнуля до соответствует делению изображения на оператор р .

Пусть f(t)	= F(p)t .
тогда	{f(t)dtfe[f.№tiM-

Так
следовательно,^	г / ,

C 2 . I I)

Изображение для неопределенного интеграла можно най ти, выражая его через определенный с нерѳиѳнныы верхним

пределом t •'	t	. . .	{ )	'
r(t) -MM	- ff(()dt / УМ			(2.12)

fit)

ГИС,2.1.

6. Теорема запаздывания

Смещение оригинала л сторону положительных / на величину t„ соответствует умножению изображении на е~***

104

Пусть дана функция fit),	которой соответствует изоб
ражение Ft(p) , то есть ^

Ш=[f(t)e-ftdé.

Рассмотрим теперь Функцию			\f(t)	, которая при
t*tt (t„>0)	равна нулю, а при i > ta совпадает
с f(t-t0)	(рис. 2.1), то есть			fit)x0	при
t < L , fit)	= fit - и)	пр-	t>tu.
Найдем изображение гг (р) функции					f(t) .
Можем написать:
Ftlp)	=(Yit)e-ptdt	=ff(t-t.)e-"dt.
Введя подстановку t		-te =i,ti	,	получим
/> (p) • ffftie-M'Uiä,			-e'^My^			.
Следовательно,			0
	Щ - ^ - Ш -				(2.13)

Умножение оригинала на					в		соответствует за
мене в изображении оператора					р		на	(ptû)
Пус*ь	fit)	Ф Fip) ,				где Fip)		р(4)ей.
тогда	fit)	е'аеФ	Ш	е 'äQ +dt			-
	-lf(t)e't"Hdt					-Fi.о*а).
Таким образом,
	f	l W	*	Fipta).				<2^)

8. Изображение прямоугольного импульса, джихель-

(рис. 2.2).

Ааалатнчѳское выражение такого импуіьса, представ

ленного s вида двух единичных функций, будет

	fit)	4(f)-l(t-tu).
Если	fft) F F(ß), to на основании теоремы а*'
кости (2.7)	F(p)*F,(p)-Ft(p).	где ff(p) Ф '(t)

a Ftp) *

Ut-ta).

Но основании (2.5) имеем

/(ti

Рис. 2.2.

Теорема запаздывания позволяет найти изображение

функции 4f£~tu)		в именно :
Значит,		,	.	- p t u к
F(p)=f-e
или
				(2.15)
Пусть f(i)=e		,	тогда
F(P)=Je't		e'"dt=-±-
или		i	Я-et
или
е±аЛ	Р
	Р	Та •		(2.16)
Из формулы	(2.16) вытекает			ряд важных следствий. По
ложив в ней а - j,u)		?	получим
				(2.17)
•Формула (2.17) дает возможность найти изображение
комплекса синусоидального тока:
Для этого,обе		части	уравнения (2.17) умножим на пос
тоянное число lm .
				(2.18)
ПОЛуЧИМ in, £	-•	-im P -Jt*>

106

Аналогично, изобразимте комплекса синусоидального

напряжения	. .		.	/
Vme'W		=	Umj7fc		•	(2.19)
Выражение	(2.16) и теорема линейности позволяют най
ти изображение функции			f(t)	-	і-віаі'.
Заданную функцию представим в виде						двух функций:

Тогда f ( t ) * f y ) . £ - - J -

10. Изображение синусоидальной функции

' Пусть f(t)	= sin		cot.
Unut	= ±(eiU			- e'/u)			,
P ~/u)						P+jco		'	2/
Следовательно,		^				/	\		со
sin cot *		J j	(	j ^		- p	^	)	= y ~ t '
то есть					r	'		'
	Süat		+	jfcp.					(2.21)

В приложении даны таблица основных свойств преобра зований Лапласа (приложение I ) и таблица оригиналов

и изображений по Лапласу (приложение П).

§ 4. Зависимость между операторными функциями,

изображающими токи и напряжения для основ

ных ВЯОМѲНТОВ цепи

а) Активное сопротивление

Для мгновенных значений		Ur = ir .
Пусть ІФІ(р)	и	Ur~Uf(p)

Тогда	Ur(p) *rl(p).		.(2.23)
>Вдесь	І(р)	и Ut(p)	- операторные функции, .'

-изображающие соответственно ток

вактивном сопротивлении и напряжение на его зажимах.

Для простоты эти функции называют. І(р) - операторный
ток;
U.-(p) - операторное напряжение.
a)	L	Г

—4ZZ3—

. t№~

«г

Рис. 2.3,а

Коэффициент пропорциональности между операторным напряжением и операторным током называется операторным сопротивлением: Zr(P) * Г ( 2 . 2 4 ) .

На основании (2.23) можно нарисовать операторную схему замещения активного сопротивления (рис, 2.3,6).

Рис. 2.3,6

Рис. 2.4,а

б) Иажуктивнооть

ІОР


Для мгновенных значений UL = i					~	•
Пусть L =	І(р)	и		UL	.
тогда ^	= z/7			- ^ .		{ 2 r 2 5 }
Здесь	и ицр)		-	операторные функции, изобра
жающие соответственно			ток в индуктивности и напряжение
на зажимах индуктивности. Их называют:
І(р) - операторный		ток,
UL (р) - операторное напряжение.						то есть если і[0)-0%
При мfлевых начальных условиях,
Ц ( » ь Р		І(р).				(2.26)

Коэффициент пропорциональности между операторным на пряжением и операторным токомпри нулевых начальных усло виях называется операторным сопротивлением индуктивности.

Это сопротивление обозначается
ZL(p)=Lp.	(2.2?)
Нэ основании (2,25) можно нарисовать операторную схе
му замещения индуктивности	(рис. 2.^6)