Файл: Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета.pdf

числа М (ß = l,4 ), представлены на рис. 30 в сравнении с экспе­ риментальными данными [78].

При фиксированном значении числа М отношение давлений в косом скачке увеличивается при увеличении k :

Давление в турбулентной зоне приближенно постоянно и равно давлению ри в окружающей среде. Следовательно, предпола­ гается, что восстановление давления от рт (перед точкой отры­

92

Величина числа Мт в месте отрыва определяется как корень трансцендентного уравнения (103) по известному отношению pjpo, табулированной газодинамической функции л(М) =

= [1+(А — 1)М3/2]~*/А_1и зависимости перепада давления в косом скачке от числа Маха р2/Рі = /(М). По числу Мт определяется площадь сечения, проходящего через точку отрыва,

q (Мт) ’

где

*4-1

_____1______ 2 ( * - 1)

q (М) —М

I + М2(/ѵ>— 1)/2

табулированная газодинамическая функция (приведенный рас­ ход) .

Расчеты показывают, что зависимость Fy/FKP=f(pJpu) может

быть приближенно аппроксимирована степенной Функцией

(£= 1,15-М ,4)

Условие безотрывного течения на протяжении всего сопла имеет вид с/аМф^^тМф для заданного ро/рп-

В соответствии с предполагаемым ступенчатым распределе­ нием давления (см. рис. 29) тяга двигателя при работе сопла в режиме отрыва потока определяется формулой

где М — приведенная скорость перед точкой отрыва.

В табл. 28 приведены значения коэффициента тяги идеально­ го сопла СН= Д / (роЛф) при d j d 1<v = 3; /г=1,4; рсрс = 1 в зависи­ мости от давления в двигателе ра и при рп=1,01 МПа с учетом

В действительности, возрастание давления от рт до рп про­ исходит не скачкообразно, а постепенно, на участке длиной

« 1 0 6. Для относительных площадей FT/Fl<p и До.оэ/Дкр (относи­ тельная площадь Fojo/Fkp соответствует сечению, в котором дав­ ление достигает 0,95 рн) при отрыве потока в конических соплах

F q,9s/FkP—F J F kp= Q,69 { F jF KP—1) при Дт/Дкр> 0,625 Да/Дкр+0,38;

от 0,95 рп до ри, и при расчете тяги можно использовать среднее значение давления: 0,975/7н(Да — До,95). Тяга конического сопла при этом определяется формулой

=/,<,,Tel*Д1іР~ (К) Ро+ 0,55 (Рт-і- 0,95/7,,) (До,95 - Fr) —

— /7,, (0 , 9 7 5 /^0,95 + 0 ,0 2 5 z 7 ,) .

Заметим, что на рис. 29 отрыв предполагается осесимметрич­ ным, однако он может также быть несимметричным, в частно­ сти, при больших углах расширения сопла или большом проти­ водавлении; в этом случае струя отклоняется от оси сопла, при­ соединяясь к стенке раструба.

Из изложенного видно, что в расширяющейся части сопла происходит частичное восстановление давления. Следовательно, в случае сверхзвукового сопла в критическом сечении устанав­ ливается течение со скоростью звука при давлении окружающей среды /7*, большем критического давления ркр= Пі<рро. Другими

словами, наибольшая (критическая) плотность потока наступает

я* <1 pJPo •< 1расход газа приближенно определяется с помощью формулы, аналогичной выражению (36):

Таким образом, тяга сопла, работающего в режиме отрыва потока, в первом приближении определяется формулой (105), структура которой совпадает со структурой обычной формулы тяги (90). Но в формулу (105) вместо параметров на срезе соп­ ла [Да, z(%a)] входят параметры в сечении, проходящем через точку отрыва [Дт, z (\T)I Положение точки отрыва dr/dKp прибли­ женно определяется аппроксимационным соотношением (104), полученным из условия равновесия косого скачка и турбулентной области, отходящих от точки отрыва. Восстановление давления в системе косых скачков внутри раструба при отрыве потока при­ водит к тому, что критическое течение в горле сверхзвукового

сопла устанавливается приян= р«/ро^>пкр-

94

3.6. НЕРАСЧЕТНАЯ СВЕРХЗВУКОВАЯ СТРУЯ

Рассмотрим сверхзвуковую струю, вытекающую из недорасширенного сопла, т. е. имеющую иа срезе сопла избыточное дав­ ление над давлением внешней среды. Такие режимы истечения могут иметь место при работе ракетного двигателя, в камере ракетного прямоточного двигателя или эжектора, а также при работе ступенчатого сопла.

Построить качественную картину нерасчетной сверхзвуковой струн и рассчитать ее начальный участок можно методом одно-

Рпс, 31. Схема сверхзвуковой струн при ра> р п

мерной теории, если характеризовать поток средними по сечению значениями параметров, удовлетворяющими уравнениям расхода, количества движения, энергии, а также плотности тока (или пло­ щади сечения) [1]. Введение таких осредненных параметров воз­ можно в сверхзвуковых потоках, имеющих постоянную по сече­ нию температуру торможения [1]. При этом, однако, утрачивает­ ся одно свойство течения: равенство статического давления награницах струи и во внешней среде; условно предполагается, что в каждом поперечном сечении потока существует некоторое по­ стоянное статическое давление р, в общем случае отличное от давления внешней среды рп.

В сечениях а — а (выход из сопла), т — т (максимальное сечение первой бочки), р — р (изобарическое сечение) скорость потока направлена вдоль его оси (рис. 31). Уравнения сохране­ ния массы и количества движения на участке а — т с помощью газодинамических функций записываются так [ср. также уравне­ ние (39)]:

• Faq{la)= Fmq{lm)\

(106)

где п = ра/рц — степень нерасчетное™ сопла. При выводе урав­ нений (106) предполагались постоянными расход, температура торможения, полное давление на участке а — т и сила от внешнего давления pn{Fm— Fa). При п=ра/рп— будет z(km)— кг(А,а), Т. е. импульс струи сохраняется (этого следовало

ожидать, так как при рп— ИЗ исчезает сила внешнего давления на границе струи).

Система двух уравнений (106) позволяет найти две неизве­ стных переменных Х,„ и Fm по известным характеристикам сопла Ха, Fa и степени его нерасчетное™ п (для недорасширенной струи /г> 1). Уравнения (-106) являются трансцендентными, и их решение удобно проводить графически, откладывая по оси абсцисс отношение Fm/F„, а по оси ординат — функции z и q. Абсцисса точки пересечения линий z(Fm/Fa) и q(Fm/Fa) является искомым значением площади максимального сечения первой «бочки» Fm/Fa. Затем по первому уравнению системы (106) и найденному значению Fm/Fп находятся значения q(X,n), Хт и остальные осредненные параметры для этого сечения. В работе [1] приведены решения системы (106) при /г = 1,4 для различных чисел Ma=l-f-2,5 и различных степенен нерасчетное™ сопла п = = 2,5-ь50. При этом показано, что давление в максимальном се­ чении первой бочки независимо от числа Ма=1ч-2,5 определяет­ ся следующей линейной формулой:

Формулу (107) можно использовать также для расчета всех осреднеиных параметров в сечении т — пѵ. по формуле (107) на­ ходится рт, затем вычисляется ят—РтІРа и с помощью таблиц газодинамических функций определяются Хт, qm—FKVIFm, Fm и т. д. Таким образом, средние характеристики потока в сечении т — т слабо зависят от числа Ма на срезе сопла.

Из формулы (107) видно, что давление в максимальном сече­ нии первой бочки ниже атмосферного рт/Ри< 1- Дальнейшее па­ раллельное течение газа невозможно, так как разность давлений

средний угол наклона скорости потока к оси, то в рамках одно­ мерной теории можно не только найти характеристики струи в се­ чении т — т, но и построить профиль струи на участке а — т. Этот метод расчета начального участка струи подробно изложен в работе [1]. Если степень нерасчетности струи близка к едини­ це, то сверхзвуковая струя вначале будет иметь почти периоди­ ческую структуру. Экспериментально установлено, что длина вол­ ны L этой почти периодической структуры осесимметричной сверхзвуковой струи определяется следующей формулой [8]:

96