Файл: Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета.pdf

Движение газа в сосуде начинается в момент открывания от­ верстия площадью /Д-р в заднем дне (при / ^ 0 будет p' —О и п '= о = 0). Расстояние от сечения k — k до сечения'/.— L пре­ небрежимо мало по сравнению с длиной сосуда L, и течение на этом участке предполагается квазистационарным. Из квазистационарного уравнения непрерывности на участке L — k q(ML) = = /'кр/Д после линеаризации получаем (х'= 1):

На переднем дне сосуда скорость газа всегда равна нулю, при х' = 0 ѵ' = ѵ = 0. С помощью этого граничного условия из первого уравнения системы (122) получаем

Ф'1 ( Г ) + ¥ 2 ( ^ ) = 0 и л и iF1 ( r ) = - W 2 ( r ' ) - = W ( f ) .

Таким образом, неустановившееся движение газа в цилинд­ рическом баллоне в линейном приближении описывается соотно­ шениями:

где вид функции Д1определяется граничным условием на задней стенке с отверстием: ѵ'=т. Решение задачи имеет такой вид [91]:

— в сечении x = L (у дна с отверстием)

— в сечении .ѵ = 0 (у переднего дна)

о= 0; р = р 0[1 — 2kmn\,

где п = іа0/2Ь — число прохождений волны туда и обратно.

В промежуточных сечениях происходит периодическое (с пе­ риодом f'= ta 0/L=2) изменение скорости в пределах от 0 до та0. В моменты t'— 2n газ покоится почти во всем баллоне (за исключением пренебрежимо малого участка L — k), в моменты времени t'= 2 n + \ газ движется со скоростью ѵ = ѵ 'а ~ т а на всем участке баллона длины L.

Задача о неустановившемся процессе истечения газа из ци­ линдрического баллона в точной постановке решена В. Г. Дуло­ вым [24]; графический метод расчета волновых движений газа при истечении из цилиндрического сосуда дан в работе [95]. Для момента времени, когда отраженная от переднего дна волна разрежения достигает соплового дна, получена приближенная формула

132

При этом скорость движения газа почти во всем баллоне рав­ на нулю, а среднее давление практически равно

После п-го отражения волны разрежения от соплового дна возникает равномерное движение со скоростью

Давление в равномерном движении

Из сравнения точных формул с результатами линейной тео­ рии (123) следует, что последние справедливы при /7і<СІ. В са­ мом деле, разлагая точные выражения в ряд по т и ограничи­ ваясь членами первого порядка, получим

V= та0\ рп+1= [ 1— km (1 + 2п)\ р0.

Эти соотношения совпадают с линейными (123).

Результаты расчета p(t) по формуле квазистационарной тео­ рии (121) близки к точным значениям и совпадают с линейными при /7г<с1. При сравнении точных и квазистационарных зависи­ мостей необходимо учесть, что

Тяга двигателя (так же, как и перепад давления) при неуста­ новившемся истечении отличается от квазистационарного зна­ чения (90) на величину [62]

Для оценки в первом приближении поправки ДД рассмотрим одномерное течение газа в цилиндрическом сосуде, неустановив­ шееся истечение из которого происходит лишь через строго ра­ диальные отверстия возле заднего дна (угол между осью сосуда

133

и плоскостью, проходящей через оси истекающих струй, равен 90°). Осевая реактивная сила такого сосуда при установившем­ ся истечении равна нулю. Нестационарная составляющая осе­ вой тяги согласно волновой теории в промежутке времени 0 <L/ ö0 равна

Как количество движения газа, так и количество движения сосуда будет в этом случае изменяться периодически. Изменение относительного количества движения F = AFL/(p0Fa0) в зависи­ мости от времени l' = tao/L представлено на рис. 51 в линейном приближении для случая /г = 1,25; /гг = 0,08 (FKp/ F = 0,135). Под действием волновых импульсов сосуд совершает продольные ко­ лебания. Положение сосуда после истечения всего газа совпа­ дает с первоначальным, так как исходное и конечное количества движения газа равны нулю.

Волновые движения газа в камере РДТТ с пороховым заря­ дом торцового горения, возникающие при малых изменениях ДК1(р площади критического сечения сопла, аналогичны рассмот­ ренным нестационарным течениям в сосуде. В линейном прибли­ жении они представляют собой также суперпозицию прямой и обратной волн и волны энтропии [87]. Но левое граничное усло­ вие— х=0, а горящий торец отличается от рассмотренного (о = 0). На горящем торце происходит подвод массы, и относи­ тельные возмущения расхода равны относительным возмущениям скорости горения твердого топлива:

С учетом этого условия вместо соотношения (123) получают­ ся в изотермическом приближении следующие формулы:

для давления у соплового дна

1 _ ( 1 — у) Mp п

Pl — Po

( І - ѵ ) М о

Ш

д л я д а в л е н и я у гор я щ его т о р ц а

Сравним полученное линеаризованное решение с квазистационарным. Для получения квазистационарного решения при ма­ лых AFVp/F1(p разложим формулу (118) в ряд и ограничимся пер­ вым членом:

нения давления у переднего дна и у сопла камеры при неустаиовившемся истечении описываются только волновой теорией. Однако общий характер спада давления при увеличении площа­ ди критического сечения «квазистационарная» формула описы-

135

вает правильно, и ее отклонения от результатов волновой тео­ рии убывают с уменьшением AFKP (при этом уменьшается вы­ сота «ступенек»). Асимптотические значения давления при ,ѵ = 0 и x = L одинаковы и равны асимптотическому значению, полу­ чаемому по квазистационарной теории; при t'= 2n—

Рассмотрим волновое движение газа в цилиндрическом кана­ ле порохового заряда ракетного двигателя, возникающее при ма­ лом изменении площади критического сечения сопла. Скачкооб­ разное увеличение FKр до Акр+ААКр приводит к появлению вол­ ны разрежения у сопловой крышки. Передний фронт этой вол­ ны распространяется со скоростью звука относительно невозму­ щенного потока газа а0; задний фронт •— со скоростью звука в возмущенном потоке а. По мере распространения волны разре­ жения происходит изменение скорости горения топлива. Пред­ положим, что это изменение можно аппроксимировать линейной зависимостью Аи/и=ѵАр/р. В момент прихода фронта волны к переднему дну начинается падение давления в передней части камеры. Это падение продолжается в течение периода отраже­ ния волны. Затем отраженная волна возвращается, и процесс распространения и взаимодействия волн повторяется.

Рассматриваемое неустановившееся движение определяется системой уравнений (9) при F = const. В случае достаточно ма­ лых возмущений давления Ар/р и скорости Аѵ/а0, соответствую­ щих малому AFKp/F, исходную систему уравнений можно линеа­ ризовать (М2<сІ; Др = Др/а2; a02=kRT0=kp/Q).

Введем безразмерные переменные Іг=Ар/р\ i=A(Qv)/(Qa0). Так как

Система уравнений (124) относится к известным в математиче­ ской физике телеграфным уравнениям. Для ее решения приме­ ним интегральное преобразование Лапласа. При этом система уравнений (124) преобразуется так:

\k{x,s)—»h-(x,t)\ i{ x ,s) —*i{x,t))\

136

Необходимо найти решение этого уравнения при преобразован­

Возмущения давления Aр(х, t) и расхода Aqv(x, t) получают­ ся в результате обратного преобразования Лапласа, применен­

ного к h(x, s) и і(х, s). Общий случай обратного преобразова­ ния сравнительно труден, поэтому выполним его для. двух прак­ тически интересных случаев:

а) движение первых волн (t— *-0; s— >-оо) и

б) многократное взаимодействие волн (t— voo; s— >-0).

С этой целью разложим функции h(x, s) и L(x, s) в сходящие­ ся ряды по степеням е- «* (при s— >-оо) или q (при s— >-0) [54]. Одновременно введем соответствующие разложения для коэффи-

эффициентов разложения учитывается исходное положение о ма­ лости М2 по сравнению с единицей.

137