Файл: Шабалин Н.Н. Оптимизация процесса переработки вагонов на станциях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
ний. Известно, что распределение Эрланга представляет собой закон распределения суммы К случайных величин, распределенных по показательному закону. Следователь но, каждый интервал в потоке Эрланга можно предста вить состоящим из К подынтервалов, каждый из кото рых получается по зависимости (16). Каждый интервал эрланговского потока вычисляют по формуле [1]
Для образования одного интервала необходимо ис пользовать К случайных чисел, равномерно распределен ных в интервале 0,1. При этом среднее значение исход
ных подынтервалов имеет одинаковую величину |
-^у . |
При распределении по обобщенному закону |
Эрланга |
средние значения подынтервалов или средние значения
интенсивностей |
исходных |
|
потоков |
различны |
и |
зависят |
|||||
от коэффициента вариации. |
Формула |
для определения |
|||||||||
интервалов в |
обобщенном |
|
потоке |
Эрланга |
имеет |
вид |
|||||
[20] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
\ |
, < |
1 |
|
|
|
|
(18) |
t |
= |
( — — 1П У! |
|
+ |
|
In Г , |
|
|
|||
где значения Ki и Х2 определяются |
по |
формуле |
(6а) . |
||||||||
Fit) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иг0&I3 |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8, |
|
|
tr=L 'мин |
|
|
|
|
||||
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5 - |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
13. |
Схема |
|
|
|
|
|
|
|
|
формирования |
ин |
|||
Hi |
|
|
1 |
|
|
|
тервалов, |
распре |
|||
0,1 |
|
• |
|
|
|
деленных |
по |
нор |
|||
0,05\ |
|
12 |
15 |
|
18 |
|
|
мальному |
закону |
||
|
|
|
21 t,miH |
|
|
|
|||||
40
Формулы (17) и (18) для |
вычисления |
интервалов в |
|
потоке обычно |
применяются |
с использованием ЭЦВМ . |
|
Для ручного |
моделирования |
интервалов |
необходимо |
строить графики функций распределения подынтервалов. После нахождения по указанному выше способу случай ных подынтервалов, распределенных по показательному закону, последние суммируют для получения интервалов в эрланговоком потоке. К примеру, если интервалы при бытия поездов с интенсивностью А = 3 поезда в час име ют коэффициент вариации У = 0 , 9 , то поток аппроксими руется обобщенным законом Эрланга, где интенсивности
исходных потоков согласно |
формуле |
(6а) |
будут /^ = |
28,2 |
|
и Я.2 =3,36 или |
средние |
значения |
подынтервалов |
t\ = |
|
= 1/28,2=2,1 мин |
и ^ 2 = 1/3,36= 17,9 |
мин, |
а в сумме они |
||
составят 20 мин. На рис. 14 приведены графики функций распределения подынтервалов, по которым графически определяются первый (рис. 14, а) и второй (рис. 14, б) подынтервалы, дающие в сумме интервал обобщенного эрланговского потока. Так, выбирая из таблицы случай ных чисел, равномерно распределенных в интервале 0,1, например число Yi=0,753, по первой функции распреде
ления |
находим подынтервал |
ri = |
0,05 |
ч |
(3 мин). |
Взяв |
||||||||
другое случайное |
число |
Уг—0,600, |
по |
графику второй |
||||||||||
функции |
распределения |
находим |
второй |
подынтервал |
||||||||||
^2 = 0,3 |
ч |
(18 |
мин). |
Сумма |
двух случайных подынтерва |
|||||||||
лов |
определит интервал |
в |
обобщенном |
потоке, |
равном |
|||||||||
|
|
|
|
|
06 |
/ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ»1I |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Д4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,2 |
0,4 |
0,В |
|
0,8 |
1,0 |
t,l |
|
|
|
|
|
6) № |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
14. |
Формиро |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вание |
интервалов, |
Oh |
|
Г |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
распределенных |
по |
НА |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
обобщенному |
за |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
кону |
Эрланга |
( |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0,2 1 |
Q<t |
0,5 |
|
0,8 |
1,0 |
t,4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
21 мин. Такое последовательное нахождение сумм двух подынтервалов будет давать интервалы прибытия поез дов с заданным коэффициентом вариации 0,9 и средним значением 20 мин.
Как указывалось выше, потоки, имеющие коэффи циент вариации больше единицы, можно аппроксимиро вать при помощи гиперэкспоненциального распределения
(9). При этом также используются исходные потоки с показательным распределением интервалов. Однако, если каждый интервал в эрланговских потоках состоял из сум мы К подынтервалов, то при гиперэкспонеициальном распределении каждый интервал состоит из показатель
но распределенных |
одного или другого |
подынтервала. |
|||||
Вероятность принятия одного или второго |
интервала оп |
||||||
ределяется в зависимости |
от коэффициента вариации по |
||||||
формуле ( И ) . Формула |
(9) для выражения |
плотности |
|||||
распределения может быть несколько преобразована |
|||||||
/(*) = С-2CXe~0-c,t |
+ (1 — С ) 2 ( 1 |
~ С ) Х е - 2 ( 1 - с " ' . |
|||||
Здесь интенсивность первого исходного потока с пока |
|||||||
зательным распределением составляет Х\ — 2СХ, |
а второ |
||||||
го Я.2=2/1—С/Х, |
где X — |
средняя |
интенсивность |
резуль |
|||
тативного потока |
с |
гиперэкспоненциальным |
распределе |
||||
нием. Так, если поезда поступают с коэффициентом ва
риации интервалов |
V = l , l при |
интенсивности |
7^=3 поез |
|
да в час, то для аппроксимации |
можно |
применить гипер |
||
экспоненциальное |
распределение, в |
котором |
С = 0 , 3 5 |
|
[по формуле (11)] . Интенсивность первого исходного по-
тока_определится |
Xi —2 |
-0,35 -3—2,1 |
или средний |
интер |
||
вал ^=1/2,1 = |
0,48 |
ч (29_мин), а второго |
потока |
Хо= |
||
= 2/1—0,35/3 = |
3,9 |
или |
7 2 = 1/3,9 = |
0,26 ч |
(15,5 |
мин). |
Средняя величина интервала гиперэкспоненциально рас пределенного потока
Т= сТг -!- (1 - С) U_.
В рассматриваемом примере средняя величина интерва лов составит
t = 0,35-29 + (1 - 0,35) 15,5 = 20 мин. Функция распределения первого исходного потока
42
а для второго
Ft(t) = 1 - е " 3 ' 9 ' .
На рис. 15 приведено графическое представление обе их функций распределения для принятых условий. При моделировании гиперэкспоненциально распределенных интервалов надо с вероятностью С = 0 , 3 5 принимать слу чайный интервал по графику первой функции распреде
ления (рис. 15, а) и с вероятностью |
1—С = 0,65 |
— интер |
вал по второму графику (рис. 15, |
б). Порядок |
действий |
при этом следующий. По специальной таблице выбира ются последовательно случайные числа, равномерно рас пределенные в интервале (0,1). Если число меньше или равно 0,35, то принимается интервал по первой функции распределения указанным выше способом для показа
тельного распределения. Этот интервал |
и |
будет принят |
|
в гиперэкспоиеициалы-юм потоке. Если |
число |
окажется |
|
больше 0,35, то принимается интервал |
с |
вероятностью |
|
1—0,35 = 0,65 по второй функции распределения, |
который |
||
и будет следующим интервалом в гиперэкспоненциаль ном потоке. По такому же алгоритму составляется про грамма для моделирования интервалов на ЭЦВМ. Ниже приведены формулы для вычисления интервалов в пото ках с заданными законами распределения при различ ных коэффициентах вариации, т. е. для различных сте пеней неравномерности потоков.
0,2 |
OA 0,5 |
0,8 1,0 t,4 |
43
Плотность распределения Формулы для вычисления ннтервалоа
|
V > |
1 — гиперэкспонеициальное распределение |
|
|
|||
fit) = |
2С2 |
\e-ic\t |
+ |
С вероятностью C:t\=—In |
К» |
||
С вероятностью |
(1 — |
C):tt= |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
+ 2(1 — С)Пе - 2(1 - с)) . ( |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= ~ 2 ( 1 - С ) Х 1 п |
К г |
|
|
|
|
V = 1 — показательное распределение |
|
|
|||
f{t) |
= le |
|
t=—j- |
In К |
|
||
|
или сдвинутое показательное распределение |
|
|
||||
fit) |
= |
l e " * <'-'•> |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,71 < V < |
|
1 —обобщенный закон Эрланга |
|
|
||
0,58 < V < 0,71 — сочетание эрланговских распределений при
К—2 и ft-=3
|
|
|
С вероятностью C:^i = |
||
fit) |
|
|
|
|
\aYi) |
|
|
|
|
|
|
„ 2 |
7 X 3 ^ |
. |
С вероятностью |
(1 —-cy.tt- |
|
|
|
|
|||
+ (!•— С) |
— ^ — е ~ 3 |
> ' ' |
V / |
1 |
\ |
|
|
|
InVi) |
||
44
