Файл: Ферми Э. Термодинамика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 119

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и аналогичное уравнение

 

 

 

 

 

 

ту1"-1

= r s v £ - \

 

 

 

разделив которое на предыдущее и извлекая

корень

 

степени,

получаем

 

 

 

 

 

 

Из этого уравнения и выражения

для

Q2

и Qx находим

 

Последнее равенство показывает,

что

отношение

равно отно-

т

 

когда

температуры

выражены

шению =г температур источников,

11

Но из (56)

следует, что

также

шкалой газового термометра.

равно отношению температур источников, когда температуры выра­ жены в единицах абсолютной термодинамической шкалы. Отсюда: отношение двух температур абсолютной термодинамической шкалы

равно

отношению двух температур

по шкале газового

термометра,

т. е.

эти две температурные шкалы

пропорциональны.

Поскольку

единицы температуры в обеих шкалах выбраны равными, можно

заключить, что эти две

шкалы совпадают,

т. е.

 

 

 

8 =

7.

 

(57)

Так как 6 и Г равны, то нет

больше

необходимости

употреб­

лять для их обозначения две

различные буквы. В дальнейшем

всегда будем

обозначать

абсолютную термодинамическую

темпера­

туру буквой

Т.

 

 

 

 

Применяя Т вместо 8, мы имеем из (56) для обратимого цикла между температурами 7\ и Т 2

И коэффициент полезного действия (44) обратимой машины прини­ мает вид

10. ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ

Мы уже доказали, что никакая машина, работающая между

двумя температурами, не может иметь

к. п.

д. больший, чем

к. "п. д. обратимой машины, работающей

между

этими же темпе­

ратурами. Таким образом, (59) выражает наиболее высокий к. п. д., какой только может иметь машина, работающая между темпера­

турами Тх и Тг.

Для большинства тепловых машин низшая температура 7\ представляет температуру окружающей среды и поэтому являет­ ся нерегулируемой. Из термодинамических соображений желатель­

но, чтобы температура Тг

была как можно выше. Конечно, не сле­

дует забывать,

что действительный к. п. д.

вообще

значительно

ниже, чем максимальный к. п. д. (59), так как все

тепловые ма­

шины далеки от того, чтобы быть обратимыми.

 

 

Цикл Карно, действующий в обратном направлении,

может

быть использован для того, чтобы извлечь количество теплоты

из источника с

более низкой температурой Тх

путем

поглощения

определенного

количества

работы L. Из (43)

и (58)

легко

выво­

дим, что

 

 

 

 

 

 

 

Qi-L—b^.

 

 

(60)

На таком принципе можно сконструировать холодильную ма­ шину, используя температуру окружающей среды как более высо­ кую температуру 7V Цикл Карно, работающий в обратном на­ правлении, можно поэтому использовать для того, чтобы извлечь теплоту Qi из тела, охлажденного до температуры Тг, которая ниже температуры окружающей среды Т2 . Из (60) очевидно, что количество работы, необходимое для того, чтобы извлечь данное количество теплоты Qx из тела, температура которого Тъ с пони­ жением этой температуры возрастает.

Как и у обычной тепловой машины, к. п. д. холодильной ма­ шины значительно ниже, чем термодинамический к. п. д. (60), потому что в холодильных машинах всегда происходят необрати­ мые процессы.

Задачи

1. Один моль одноатомного газа совершает цикл Карно между темпера­ турами 400 и 300° К. При верхнем изотермическом процессе начальный объем составляет 1 л, а конечный — 5 л. Найти работу, совершенную во время цик­ ла, и количества теплоты, поглощенные и выделенные источниками.

2.Каков максимальный к. п. д. тепловой машины, работающей между температурами 400° С и 18° С?

3.Найдите наименьшее количество работы, необходимое для того, чтобы

извлечь калорию

теплоты из тела

при температуре—17.8° С, если температу­

ра окружающей

среды составляет

37,8° С.

Г Л А В А IV

ЭНТРОПИЯ

11. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЦИКЛОВ

Рассмотрим систему S, которая совершает циклический процессПредположим, что во время цикла она получает или отдает тепло"

ту

источникам, имеющим температуру Ти

 

Г», . . .

,

Тп. Пусть Qlt

Q2. • • • » Qn — соответственно

количества

теплоты,

которыми

обме­

ниваются источники с системой. Считаем,

что Q положительно, если

это — теплота,

полученная

системой,

и отрицательно

в противопо­

ложном

случае.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь докажем, что

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ % < о

 

 

 

 

 

 

 

 

(61)

и

что

при обратимом цикле в (61) стоит знак равенства. Чтобы

до­

казать

неравенство (61),

введем, кроме л источников,

записанных

выше,

другие источники

теплоты при произвольной

температуре Т0 ,

а

также л обратимых циклических машин (возьмем п циклов Карно

Си

С,,

. . . ,

CJ,

действующих соответственно между

температурами

Тъ

Т2,

. . . ,

Тп

и температурой Т0 .

Действующий

между

темпе­

ратурами

Tt

и Т0

г'-й цикл

Карно С, мы

выберем

так,

чтобы

он

отдавал при температуре Tt

количество теплоты Qlt

т. е. количество,

равное

поглощенному системой S при температуре

 

Tt.

 

 

 

 

Согласно (58), количество теплоты, поглощенное в цикле Ct от

источника Т0,

составляет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q*,o = ^ Q | .

 

 

 

 

 

 

 

(62)

 

Рассмотрим теперь сложный цикл, состоящий

из

одного

цикла

системы

S и

одного из

циклов Карно

Съ

С2, ...

,

Сп.

Оконча­

тельное

изменение теплоты

каждого

из источников

с

температурой

Ти

Т2,.... ,

Тп

во время

сложных циклов равно

нулю. Источник

с температурой

Т, передает

системе

S количество

теплоты

 

но

он

получает

столько же

теплоты от цикла

С{ . С другой

стороны,

источник с температурой Т0 теряет количество теплоты, равное сум­ ме теплопг [даваемых формулой (62)], поглощенных циклами Карно Си С,, .... , Сп. Таким образом, источник с температурой Т0 отдает количество теплоты, равное

пп

 

 

1=1

1=1

 

 

 

Следовательно, в результате сложного цикла система, состоящая

из

S и С ъ С2 ,

. . . , Сп, получает

некоторое

количество

теплоты

Q0

от источника

с температурой

Т0. Но мы

уже видели,

что при

циклическом процессе выполненная работа равна общему количеству

полученной

системой

теплоты. Таким

образом, поскольку

S, Съ

С2 , . . . , Сп

возвращаются к своим начальным состояниям в

конце

сложного цикла, то

его единственный

конечный результат — это

превращение в работу теплоты, полученной от источника темпера­

туры Т0. Если бы Q0 было положительным,

этот

результат

проти­

воречил бы постулату Кельвина. Значит,

Q0

< О или из (63)

 

І=І

 

 

 

 

что совпадает с (61).

 

 

 

 

 

Если циклы, совершаемые системой S,

обратимы, то можно счи­

тать, что процесс идет

в обратном направлении;

тогда все

Qi из­

меняют знак. Применяя

(61) к обратному

циклу,

получаем

 

S-?j<o.

или

'=1

Таким образом, если цикл обратим, то приведенное неравенство должно быть удовлетворено так же, как и (61), что возможно лишь тогда, когда стоит знак равенства. Поэтому для обратимого цикла мы должны иметь

п

S £ ; = o ,

(64)

1=1

что завершает доказательство нашей теоремы.

При выводе соотношений (61) и (64) мы предполагали, что си­ стема обменивается теплотой с конечным числом источников 7*1,

Т2 , . . . , Тп. Важно,

однако,

рассмотреть ситуацию, при которой

система обменивается

теплотой

с непрерывно распределенными ис­

точниками. В этом случае суммы в (61) и (64) должны быть заме­ нены интегралами, взятыми по всему циклу.

Обозначая через ^ интеграл,

взятый

по циклу,

и через

dQ —

бесконечно малое количество теплоты,

полученное

системой

от ис­

точника с температурой Т, имеем

 

 

 

§ Т < 0 '

 

 

(65)

что справедливо для всех циклов, и

 

 

 

§f

= 0'

 

 

<66>

что справедливо только для обратимых циклов*.

 

 

 

12.

ЭНТРОПИЯ

 

 

 

 

 

Свойства обратимых циклов, которые выражены уравнением (66),

могут быть установлены

также

и в следующей форме.

Пусть

Л и

В — два равновесных состояния системы

S.

Рассмотрим

обратимый

процесс, который проходит система от начального

состояния

А к

конечному состоянию

В.

В

большинстве

случаев

возможно

боль­

шое количество

обратимых

процессов,

переводящих

систему

из А

в В. Например,

если

состояние системы

изобразить на диаграмме

(V, р), то некоторая

непрерывная кривая,

которая

соединяет

две

точки Л и В (представляющие

начальное

и конечное состояния си­

стемы), будет соответствовать

возможному

обратимому процессу от

А до В. На рис. 9 показаны три таких

процесса.

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

интеграл

С dQ

распространенный на обратимый про-

\ у ,

А

цесс от Л до В (dQ — количество теплоты, обратимо поглощенное системой при температуре Т). Докажем, что приведенный выше ин­ теграл является одним и тем же для всех обратимых процессов

* Чтобы избежать неправильного понимания выражений

(65)

и (66),

сле­

дует указать, что Т представляет температуру

источника,

передающего

коли­

чество теплоты dQ, причем эта температура не обязательно равна

температуре

Т' системы (или части системы), которая получает

теплоту

dQ.

Действитель­

но, если цикл необратимый [соотношение (65)], то Т'^СТ,

 

когда

rfQ~<

поло­

жительно, потому что теплота не может переходить

от холодного

к более го­

рячему телу; а когда dQ отрицательно, то Т' >

Т. Если,

однако,

цикл

обра­

тимый [уравнение (66)], то всегда должно быть

7" = Т,

потому что передача

тепла между двумя телами с различными температурами является необратимым процессом. Поэтому в (66) можно считать Т температурой источника, а также температурой той части системы, которая получает теплоту dQ.

Смотрите также файлы