Файл: Павловский М.А. Влияние погрешностей изготовления и сборки гироприборов на их точность.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.07.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
- f |
ôj # (äj cos ß ( 0 ) — e 2 à j |
sin ß( 0 ) ) — cos ß ( 0 ) [— !в2Ау1 |
— H ( ß x + |
||||||
|
H- S A + oa«! sin ß{ 0 ) )] — sin ß ( 0 ) { / A Y , — H | 8 8 (ßi |
+ |
|||||||
+ |
ôjài) - f oa«! cos ß(0 ) ]} + n ^ ä j - f M T l sign (a( 0 ) + |
ä x ) = /Их ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(III . 11) |
|
Bx |
(ßj - j - ô ^ ) |
+ o 2 / Ä Y 1 + W ( a 1 cos ß ( 0 ) — e2 ax sin ß0 ) — |
||||||
|
|
— (Bxy |
cos ß( I ) ) — |
sin ß( 0 ) ) ax |
- f n 2 |
0 ß x |
+ |
|
|
|
+ / l a Ä s i g n |
(ß( 0 ) + |
ßi) + |
^xosign (ß ( 0 ) + |
ßx ) = M 2 |
; |
|||
|
|
/ ( AY + |
sin ß( 0 ) ) + ÄAY = AJg. |
|
|
||||
Здесь |
обозначено |
|
|
|
|
|
|
||
Mi |
= |
— lyjtf} + |
/ад.юі? + |
/ г . ѵ . Ш ^ — |
" і О а < 0 |
' — ^ІдѴИг. COS Y + |
|||
|
|
+ (e 8 ß„ + ßt f 2 ) ш*? cos ß ( 0 ) + |
sin ß ( 0 ) |
» |
|
||||
|
|
+ Вг) tg ß(0 ) + |
+ BU2 + e2 ^ + с о Д о ) |
+ |
|||||
|
|
+ ß 2 t g 2 ß ( 0 ) |
|
V i / , |
c o s ß ( 0 ) |
|
+ |
||
|
+ |
n.10 |
% + 8 0 ш х — 6 > Г + |
(tg |
ß0 + ^ |
|
) |
+ |
|
||
|
|
|
4°> |
|
|
|
• / L F L Y © 2 3 |
C O S Y ; |
|
|
|
M 2 |
» |
( ß , z - |
0 2 ß, ) CÙ<°> - t t 2 0 ß ( 0 ) + |
/2 д Ѵ ©2 , = (ß« - |
o2 ß,) |
M z ° > + |
|||||
|
|
|
+ n20 |
(со<°> - |
со2?>ехх) + |
h№s; |
|
|
|
(III . 12) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е и |
= |
8j -f- ô a cos ß ( 0 ) |
+ (ôx + |
Ô 2 sin ß( 0 ) ) (tg ß ( 0 ) |
+ |
c o s 2 |
E g ( |
Q ) j . |
|||
В выражениях (111.12) исключены члены, содержащие вторые и более высокие степени углов Е { , б,-, а также произ ведения этих углов на центробежные моменты инерции.
61
Уравнения (III.11) характеризуют вынужденные коле бания гироскопа относительно заданного его положения в инерциальной системе координат, поскольку свободные ко лебания с течением времени затухают.
Д л я идеально выполненного гироскопа, когда отсут ствуют неперпендикулярности, непересекаемости осей и
центробежные |
моменты, |
возмущающие |
моменты |
Mt |
(і = |
||||
= 1,2,3) равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мю |
= (h, + |
5 t ) со^ tg ß ( |
0 | |
+ |
n10a>g, |
|
|
||
M 2 0 |
= |
я20со<°>, |
M 3 |
0 = М3 |
= |
-/со<°> , |
(III. 13) |
||
Из сравнения |
выражений |
(111.13) |
и |
(I I I . 12) легко |
оце |
||||
нить в первом приближении влияние технологических по грешностей на образование возмущающих моментов, дей ствующих на гироскоп. При этом непересекаемости осей карданового подвеса (характеризуемые в формулах ( I I I . 12) центробежными моментами инерции (см. § I I . 1)) больше влия ют на величины возмущающих моментов, чем неперпенди кулярности осей. Технологические погрешности оказывают также существенное влияние на рассеивание энергии в ги роскопе, которое характеризует время затухания свобод ных колебаний и высоту резонансных пиков при вынуж денных колебаниях.
При решении задач о рассеивании энергии в гироскопе необходимо особое внимание уделять влиянию моментов сил трения, обусловленных реакциями в опорах, т. е. моментов
сил сухого Мт, signa, sign ß и вязкого пг(ІаХі sign ß трения. Эти моменты трения в зависимости от параметров
возмущения |
по-разному будут, влиять |
на затухание |
свобод |
||
ных колебаний. Вне резонанса, когда выполняются |
условия |
||||
а ( 0 ) |
а і и |
ß(0) |
ßi. они практически |
не воздействуют на |
|
затухание малых свободных колебаний, и их можно рас сматривать только как возмущающие моменты. Точно та кой же эффект будет наблюдаться, если для уменьшения величины моментов трения применять принудительное вра щение промежуточных колец шарикоподшипников.
Рассматриваемые моменты сил трения будут демпфиро вать свободные колебания только в том случае, если aa ^> ^> à(o) и ß'j ^> ß(o>, т. е. если амплитуда вынужденных колеба ний гироскопа значительно превосходит амплитуду угловых колебаний объекта. Это возможно, как правило, при резо нансе. Однако, как будет показано ниже, моменты сил су-
62
хого трения не ограничивают амплитуду резонансных коле баний, если в системе отсутствует вязкое трение.
Решим сначала задачу об устойчивости гироскопа без учета моментов сил трения, обусловленных реакциями в опо рах. В этом случае систему уравнений ( I I I . 11) можно пере писать в виде
|
|
|
|
A12p-N, |
|
|
АізР |
|
|
|
ßi |
|
|
M, |
|
|
|||
Л21Р + N, А22р + п |
|
АѵаР |
|
|
|
|
|
M2 |
, ( Ш . 1 4 ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
20 |
А33р |
+k |
|
|
A Y |
|
|
м3 |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• " i |
l |
— |
^оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2ß(0) |
|
|
||
|
|
+ 81А12+(Виг |
|
|
|
+Вгу) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Аі2 |
= 6 |
А |
— (ВУХ cos ß ( 0 ) |
— Bzx |
sin ß ( 0 ) ); |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
^із |
|
|
/ ( s i n ß 0 + |
e2 cos ß0 ); |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
^21 = |
-^12' |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
^22 = |
Bx\ |
|
|
A23 |
= /б 2 ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
<431 |
= |
— / sin ß0 ; |
A32 |
= |
0; |
Азэ |
— |
/; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
N1 |
= |
H(cos |
ß0 — e 2 s i n ß 0 ) ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A0O |
= |
[y, + |
BycQS*hO) |
+ |
|
Btsm*hOi. |
|
|
||||||||
Отсюда характеристическое уравнение системы (III.14) |
|||||||||||||||||||
будет иметь |
вид |
|
а0ръ |
+ |
|
+ а2р |
+ |
а3 |
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
А = |
ßjp 2 |
= |
0, |
|
( I I I . 15) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
о = |
^22 |
(-^іі-^зз |
-^зі^із) |
^12 (-^зз^іг |
|
^зі-^із)' |
|
|||||||||||
|
ax |
= k {AnAZ2 |
— A\2) + AS3 |
(n10A22 |
|
+ n20An) |
+ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^31 (^1^23 |
^13?î2o)> |
|
|
|
|
|
||||||
|
иг = |
4 І З (Ni — «io«2o) + |
Ь (nwA22 |
|
+ |
|
n20An), |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a3 = k {N\ + |
n10n20). |
|
|
|
|
|
(III . 16) |
|||||
Учитывая, |
что |
(k, |
n10, |
|
n20) |
<<£ Nv |
|
а |
коэффициенты |
(A23, |
|||||||||
A12) <^ |
( Л г 1 , |
Л 2 |
г , |
A3S), |
упростим |
выражения |
( I I I . 16) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a0 |
— Л 2 |
2 {AnA33 |
— ^зі^із); |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
'• kAnA22 |
|
+ Л 3 3 (п10А22 |
|
-f- /i2o^ii) ~Ь |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ Л і |
( ^ Л з - |
|
^із"2о); |
|
|
(III . 17) |
||||||
|
|
|
|
|
|
a2^A3aN\; |
а 8 « |
kM\. |
|
|
|
|
|||||||
63
Условия устойчивости по Гурвитцу имеют вид
о 0 > 0 , |
а ! > 0 , а 2 > 0 , |
а3>0, |
|
аха2 |
— а0а3>0. |
(Ш.18) |
||||||||
Коэффициенты а0 , |
а2 , |
а 3 |
всегда |
положительны, |
поэтому |
|||||||||
условие (III.18) |
будет |
выполняться |
при |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ага2 |
— а0а3>0. |
|
|
|
|
|
(III . 19 |
||
Подставив в |
последнее |
выражение значения коэффици |
||||||||||||
ентов (III.17) с учетом |
(III.15), получим |
|
|
|
|
|||||||||
|
« і а 2 — aQas |
= А , з ( я 1 0 Л 2 2 + п20Аи) |
|
— |
|
|
||||||||
— / sin ß ( 0 ) |
[Wj/ôg + |
//г2 0 (sin ß ( 0 ) + |
8 2 cos ß, |
,)] - f |
||||||||||
|
+ |
IkA22 |
sin ß ( 0 ) |
(sin ß ( 0 ) + |
e2 |
cos ß( 0 ) ) > |
0. |
|
||||||
Разделив на |
/ 2 , |
|
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
• ^ - |
— sin ß < 0 ) |
(sin ß ( 0 ) |
+ |
e2 |
cos |
ß ( 0 ) ) |
+ |
|
||||
+ |
["io + |
k s i |
n |
ß(0) ( s i n |
ß(o> + 4 cos |
ß(o))] — A / ^ s i n ß ^ > 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(111,20) |
Д л я |
малых |
углов |
ß<o) условие |
(111.20) |
примет |
вид |
||||||||
|
|
n 2 |
0 - ^ - |
+ |
n 1 0 ^ > H 0 |
ô ^ o ) . |
|
|
(Ш.2І) |
|||||
Наиболее неблагоприятные условия для выполнения |
||||||||||||||
неравенства (III.20) имеют место при |
ß = s - ^ - . |
В |
этом случае |
|||||||||||
|
n J A |
1 |
|
V \ |
+ |
J¥-(n1o |
+ |
4 ) > J |
1 |
$ 1 - - |
(Ш.22) |
|||
Таким образом, на устойчивость свободных колебаний гироскопа заметное влияние может оказывать только непер пендикулярность ô 2 осей вращения ротора и внутренней рамки. Причем если произведение уо2Р(0) > 0, то неперпен дикулярность осей ô 2 уменьшает запас устойчивости, а если Y02 ß( o)<;0 — увеличивает его.
|
П р и м е р |
7. |
Найти значения |
допустимого |
в смысле |
устойчивости |
||||||||
гироскопа |
угла ô 2 |
при |
п20 |
= |
n1Q |
= |
0,1 |
Гсмсек; |
k = 0,1 Гсмсек; |
в 2 = 0; |
||||
Н0 |
= 6000 |
Гсмсек; |
ß ( 0 ) |
= |
0°,15* |
30°, |
4 5 ° , 60°, |
7 5 ° , 90°. |
|
|
||||
u |
Величину |
допустимого |
значения |
угла |
ô 2 |
определим |
по |
формуле |
||||||
(III.20). Результаты вычислений |
представим |
в форме табл. 7 . |
|
|||||||||||
64
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7 |
|
ßo |
0 |
15° |
30 |
45° |
60° |
75° |
90° |
|
| 6 . | < |
с о |
3 , 5 - Ю - » |
2,0-Ю—і |
1,8-10-4 |
2,2-10-4 |
4,0-10—1 |
СО |
|
(1,20') |
(0,70') |
(0,63') |
(0,76') |
(1,40') |
||||
|
|
Проведенный анализ приемлем при рассмотрении дви жения гироскопа в условиях качки. Дл я неподвижного основания вместо коэффициента п20 следует рассматривать сумму п2а 4- п21 и учитывать рассеивание энергии под дей ствием моментов сил сухого трения. Отсюда следует, что влияние неперпендикулярности осей гиромотора б2 на не подвижном основании оказывает меньшее влияние на зату хание свободных колебаний, чем при качке. В реальных приборах необходимо учитывать также так называемое кон струкционное демпфирование [11, 49], которое заметно влия ет на затухание свободных колебаний. Дл я более полного исследования свободных колебаний необходимо найти корни характеристического уравнения (III.15). Их проще всего определить, воспользовавшись соотношением между корня ми хъ х2, х3 и коэффициентами
|
х1 |
-4- х2 -(- х3 |
= |
-г- ', |
xa (Xj -f- х2) |
-f- х±х2 = —~- ; |
|||
|
|
|
|
"о |
|
|
|
"о |
|
|
|
|
|
|
|
"О |
|
|
|
|
Очевидно, что один корень |
является |
действительным, |
||||||
а |
два остальных, |
характеризующих |
нутационные колеба |
||||||
ния, комплексно сопряженными. Пусть х1 |
= —г + ß; |
х2 = |
|||||||
= |
—г — j % , тогда, |
учитывая, |
что частота нутации |
X ^> г |
|||||
и X ^> |
I х31, из выражения |
(III.23) легко получить |
|
||||||
|
|
|
|
* » _ _ £ 5 _ = |
|
|
(Ш.24) |
||
|
|
|
|
|
2 \ а0 |
а2 ) ' |
|
|
|
Подставив значения коэффициентов at из ( I I I . 17) в фор мулы (III.24), найдем
k
х3 — j ;
3 2-2676 |
65 |