Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Q = Ap (s) ß + AN,

 

 

 

 

Я *Я = Qr'G.GQ-1,

 

 

 

 

G*G = Л^ЯЯ -I- Д* (s) CA,, (s),

 

 

•0°* = G'i>» + f ( ß < r aP (l*,

 

 

 

 

/Со + /С+ + /С- = ( H

^ Q

^

R P

- 1-, 0] - Я [ЛР-1; 0]) D,

L0+ L+ + L_ =, - Я7' Q71[ВД

0] S ^ * ^ 1,

а элементы матриц Л и

Я должны удовлетворять требо­

ванию аналитичности в правой полуплоскости матрицы

7 _

ГР

— ЯГ]

 

[Л

 

5

 

вместе с обратной.

 

 

 

 

 

 

§ 3.

О С И Н ТЕ З Е О П ТИ М А Л Ь Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х С ЛЕ­

 

Д Я Щ И Х

С И С ТЕМ

До сих пор метод синтеза,

изложенный в гл. 1, использо­

вался для решения задач оптимальной стабилизации. В на­ стоящем параграфе этот метод будет применен к решению задач синтеза оптимальных линейных следящих систем, частным случаем которых являются задачи оптимальной стабилизации (программный сигнал равен нулю).

Под оптимальной следящей системой понимается, как и в [24], например, система с обратной связью, выходная координата (вектор координат) которой должна наиболее точно воспроизводить некоторое программное движение. Программный сигнал, поступающий на вход следящей си­ стемы, может быть искажен помехами, на заданную часть системы (объект) могут действовать внешние возмущения, и, наконец, используемые для формирования закона уп­ равления координаты объекта могут измеряться не точно.

В простейшей постановке задача формулируется следую­ щим образом. Пусть движение объекта описывается диффе­

ренциальным уравнением

 

Рх = М и-j-ф ,

(4.35)

где X — координата объекта, и — управляющее

воздей­

ствие, гр — внешнее возмущение, Р и ЯГ — операторные по-

d

ЛИНОМЫ ОТ р = -гг.

112

Пусть г — полезный сигнал,

поступающий на вход си­

стемы с аддитивной помехой

Предполагается, что коор­

дината объекта х измеряется также с аддитивной

погреш

ностыо ф.

 

 

Пусть ijj, г, I и ф — стационарные случайные

процессы

с нулевым математическим ожиданием и матрицей спект

ралы-іых плотностей

S*,(w)

0

0

1

 

5(ю) =

Snp (со)

 

 

5,|,ф (ц>)

Srr (со)

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

О

0

 

5фф (со)

S(pt (со)

 

 

_

О

0

 

S&P (со)

S K (со)_

 

 

 

5ф0И

 

0

 

 

 

 

.

0

 

5 фЛ “ ).'

 

 

 

Требуется определить закон управления в цепи обрат­

ной связи

 

 

 

 

 

 

 

W 'U ^ W ^ x +

t f + W ^r +

Q

 

(4.36)

(полиномы Wо (р), W-y (р) и

W2 (р)) так,

чтобы на

классе

устойчивых замкнутых систем в установившемся

режиме

минимизировался функционал

 

 

 

 

 

в = ( ( * - г ) г) + с 8 (и8).

 

 

(4.37)

Первое слагаемое в функционале (4.37) (дисперсия (х— /•)) характеризует качество воспроизведения полезного сиг­ нала г выходной координатой х системы с обратной связью, а второе слагаемое ((ц2) — дисперсия и, с — const) огра­ ничивает «мощность управления», затрачиваемую на это воспроизведение.

Как уже отмечалось, задачи оптимальной стабилизации

являются частным случаем рассматриваемой задачи,

когда

г — 0, £ = 0. Однако метод решения, изложенный в

гл. I,

оказывается эффективным и при отличных ,от нуля г и §.

Введем в рассмотрение

дополнительную

координату

У =

г,

(4.38)

и задачу об оптимальном воспроизведении полезного сигнала сформулируем следующим образом.

Для объекта, 'движение которого описывается

матрич­

ным уравнением

 

Р0х0 = ти +

(4.39)

8 3 -58 2

113

 

требуется определить закон управления в цепи обратной связи

W,u = W (x0 + Фо)

(4.40)

так, чтобы на классе устойчивых замкнутых систем мини­ мизировался функционал

е = (x0Rx0) + с3 (и2).

(4.41)

В уравнениях (4.39) — (4.41)

X

Фо =

Ро =

 

т

М

L У

 

О

 

 

 

 

W = [Wv W2],

Ф

Я =

1

-

фо =

.1

1

 

 

 

 

Сформулированная задача формально не отличается от задач оптимальной стабилизации, и ее решение, согласно (3.50), имеет вид

W(s) =

Wö'(s)W(s) =

PP* (s)

(k - — /„ — /+ ) D

—1

'm

 

 

 

 

g* (s)

 

 

 

 

 

 

X

(k—— lo — 1+) D~lP0

1

 

гпД

(4.42)

 

g*(s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(s — переменная Лапласа),

 

 

 

 

 

 

 

g* (s) g (s) =

т Д т - f

c2P* (s) P (s),

 

 

 

DD^ —

+ Pо5ф0Р 0*,

 

 

 

 

+

k—

 

1

m*R ■

 

g(s) а

 

Pö'D,

(4.42a)

 

. g* (s)

 

 

 

 

 

 

 

q(s)

 

 

 

 

A> +

1+ +

=

—

g* (S)

•m^RSm.PnJD,—1

 

 

 

 

0 * A

 

 

 

q(s) =

P (s) ß (s) + am.

 

 

 

Здесь

полином g

(s)

имеет нули только в левой полу­

плоскости, а матрицы D и D~l аналитические в правой полуплоскости. Элементы вектора-строки а и скаляр ß (s) — полиномы от s, удовлетворяющие требованию аналитич­

ности в правой полуплоскости матрицы Z =

вместе с обратной, т. е. полином q (s) — det Z должен быть гурвицевьш. Элементы векторов k0 и 10 — целые части (по­ линомы от s), /г+ и /+ — правильные дроби с полюсами

114

только в левой полуплоскости,

/е_ и

/_ — правильные

дроби с полюсами только в правой

полуплоскости.

Проиллюстрируем специфику

задач

воспроизведения

полезных сигналов системами с обратной связью на число­ вых примерах.

Пусть движение объекта описывается дифференциаль­

ным уравнением

 

 

 

 

X+

X — 2х =

и — аи + ф,

а > 0 ,

(4.43)

причем 5 ^ (со) =

А|

О

— 0 (г и ф

некор-

 

5 фв

 

О 1/ф г + со2)

 

 

релированы, г и х

измеряются точно, т. е. £ = ср = 0).

Требуется сконструировать закон

управления

 

W0(p)u =

W1 (p)x + W ,(p)r

(4.44)

так, чтобы замкнутая система объект + регулятор была устойчива и ее выходная координата х наиболее точно вос­ производила полезный сигнал г, т. е. величина

е = ( ( х ~ г ) 2)

(4.45)

достигала минимума (ограничения науправление отсут­ ствуют, т. е. с — 0).

Введя координату

У = г,

(4.46)

уравнения движения замкнутой системы (4.43), (4.44), (4.46) можно записать в виде (4.39) — (4.41), где

Ро (Р) =

(Р + 2) (р — 1)

0'

т(р) =

р — а

0

l j ’

0

 

 

Требование аналитичности в правой полуплоскости матрицы

P o (s)

— т (s)

Z(s) =

ß(s) .

« (* )

вместе с обратной удовлетворим, положив ß = 1, а =

=I— (s -}- а -j- 1), 0J. Тогда, согласно (4.42),

q = det Z = а2 - f а — 2,

g* (s) g (s) = m:i.Rm =

а2 — s2,

 

T.

e.

g =

a +

s,

 

 

0

1

(Аф,

у,

0),

 

 

b + s

J

/0 = /+

= 0,

r

 

 

 

 

 

8 *

115

k — —

2а

 

 

'S))

 

 

 

-f- b J ’

а — s

(а + 2) (а— i) ’

а

 

k-D

ltn =

■

2 а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( а + 2 ) ( а - 1 ) ’

 

 

k - J r ' P a =

2 а

(5 +

2)

(s —

1)

.

s +

b

 

(а +

2)

(а — 1)

’ а -f- b

 

 

 

 

_ *

 

£ ± + . f_

I;

]]

 

 

 

g * (s)

*

о —

s

1

*

1’

 

 

( r = [ ^ 1>r 2] =

 

а 8 + а - f 2 . b — a (g-f- 2) ( g — 1)

S +

2a

’

ö +

a

 

 

2 a

•(4.47)

 

 

 

 

Структурная схема оптимальной замкнутой системы, как видно из уравнений (4.35), (4.36), (4.42), имеет вид, изображенный на рис. 2.

г+£

Объект

 

гЛ

Объект

 

 

 

 

 

 

W,

Л

Ф

Hf

-г®

 

 

 

 

Рис . 2.

 

 

Р и с . 3.

 

 

Обычно же при синтезе замкнутых систем их структура

схематизируется так, как

показано на рис. 3, причем по­

лагается, что Н[ (s) задается заранее (как правило, Hf = 1), а не определяется в результате решения вариационной за­ дачи (как указано в [24, стр. 44], если функция Ht (s) не задана, то ее можно выбрать так, чтобы упростить реа­ лизацию Gc (s)).

Как видно из сравнения рис. 2 и 3, соответствующие оптимальные системы при заданной передаточной функции Hf (s) могут быть тождественны только при нулевом по­ лезном сигнале (г = 0, £ = 0). В противном случае (г Ф 0) необходимо Hf (s), как и Gc (s), определять из решения ва­ риационной задачи, причем даже и в этом случае могут возникнуть ситуации, когда система, изображенная на рис. 2, окажется эффективнее, чем система, изображенная на рис. 3.

Применительно к рассмотренному выше объекту прове­ дем количественное сравнение эффективности систем, изоб­ раженных на рис. 2 и 3.

И6

Смотрите также файлы