Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

k - =

—

s ( s ) aPö'D

 

 

 

 

q(s)

 

 

_______2 а (c +

a) (a +

d)

S|)

[ ^ 1>

~ ~

M (a — s)

1

I

 

 

 

1

8

И, наконец, подставим необходимые величины в формулу для W (4.16):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я; (а+

4)

~1

 

. D "1=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Яф

s +

4

 

 

 

 

 

 

 

ч+ч

 

 

 

 

 

 

 

 

J _ _!_Л , _ Ч ? - Ѵ

 

 

 

 

 

£ __д

- i

_ _

___

 

 

 

 

 

 

2 а (с

я,а)

(а яЦ -, !d)5 '1

Я^Яо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч + ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ( s + d ) ( a — s)

Я* + Я>

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Ч +

Ч .

Я,

(a — s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Яі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь

Г)"1« _

_

 

2а(с+ а)(а+ 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

(а —

s) (s + d)

’

 

 

 

 

 

 

k J D ~ lP0 =

—

-2а(++ + ifl-+ +

[Я»; Я|І,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

М (s +

d) (Xj +

Я р

1

21

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(С2

S2) Р (

S)

 

,

,

£ ) - 1

П k-D ~XPü =

 

 

 

 

 

 

 

 

«•(s)

 

 

+ /г“^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 а (с +

а) (а +

d)

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (*J + ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

с) -ІЧ; 41-

(+22)

s2 +

(2a -f- с + d) s +

2 а

(а +

с) + d

(2а +

Согласно

(3.29), минимальное значение функционала

 

 

 

 

/°°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min =

T

I

|A-

|2rfs = 1 T T ^ r

i* r ( a + c)2(fl +

d)a *

 

 

 

— /со

 

 

 

1

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч ,

I

 

f

 

*

 

 

 

Я^,

 

4 я а (а +

с)2 (а +

d f

/Л 0 0 ^

 

*

/

 

J

а 2 — s2

 

 

1

+

1

*

 

 

 

 

 

(

;

 

 

 

—;оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108

Интересно проследить асимптотическое поведение формул

(4.22) и

(4.23)

для

двух

частных случаев.

 

 

 

I.

При

со ,

т.

е.

5

Фі ->- О,

 

 

 

 

 

W-

2а (а -с с)

[11

0],

emin'

4яп (а +

с)3

4» (4.24)

 

М (s +

2а + с)

М2

 

при

\2-+ с а , т.

е.

5 фі->-0,

 

 

 

 

 

W-

2а (а + с)

 

[0,

1],

emin-

4ла (а +

с)2

. 2

(4.25)

М(s + 2а +

с)

— w —

 

Таким образом, как видно из (4.24) и (4.25), если по одному из каналов координата объекта измеряется точно, то только информация этого канала используется при фор­ мировании закона управления. Естественно, что передаточ­ ная функция оптимального регулятора и минимальное зна­ чение функционала совпадают с соответствующими им ве­ личинами при решении задачи с идеальным измерением координаты объекта (см. пример III, § 2, гл. 1).

II. При ^ - > 0 , т. е. 5 ф1->-оо,

W-

2а

 

{а + с) (а + d)

[0; 1].

~МГ

s3 -j- (2а **{- с -j- d) s -J- 2(2 (c -{- c) -{- d (2a -j- c)

 

4na

(a +

c)2 (а + й)25 ф„,

 

^min ' ~ W

 

 

 

 

 

(4.26)

где

d ~ V

ë +

я ;> о .

 

 

Таким образом, если уровень помех в одном из каналов

измерения стремится к бесконечности, оптимальный регу­ лятор использует для формирования закона обратной связи только второй канал измерения, и значения W и emin в этом случае зависят лишь от 5 Фг и совпадают с соответствующими им величинами при одноканальном измерении координаты объекта (см. пример I, § 2, гл. 3).

Перейдем теперь к рассмотрению задачи оптимальной стабилизации с «избыточной» информацией в общем слу­ чае. Здесь, как и в простейшем варианте задачи, введение фиктивных координат позволяет использовать схему реше­ ния, приведенную в гл. 3.

Пусть движение объекта описывается матричным диф­ ференциальным уравнением

Рх = Ми -|- ф,

(4.27)

109

где X и ф — «-мерные векторы координат объекта и внеш­ них возмущений, и — m-мерный вектор управляющих воз­ действий, Р и М — матрицы п X п и п X т, элементы

которых — операторные полиномы от р = ~d .

Требуется определить уравнение регулятора в цепи об­ ратной связи так, чтобы замкнутая система была устойчива и в установившемся режиме

функционал

е = (x'Rx) -f- (и'Си) (4.28)

достигал минимума.

Пусть кроме основного из­ мерительного канала, на вы­ ходе которого имеем вектор X - f ф, существуют q других каналов, измеряющих все компоненты вектора х или часть их с соответствующими аддитивными стационарными случайными помехами. Для

 

 

 

удобства

упорядочим

нуме­

рацию координат вектора х и этих

каналов таким образом,

что на выходе

і'-го измерительного

канала

имеем

 

 

 

L tx -f- ф,- —

 

" Ф/ i '

 

 

 

 

+

 

 

 

 

где Lt =

[Д/г.;

0] — матрица

размера

kt X

п,

 

П

^

k2

^ &/-fl

 

^ kq

1.

Структурная схема замкнутой системы имеет вид, изо­ браженный на рис. 1. Определению подлежат передаточные функции W и Wc (і = 1, 2, ..., <7 ), связывающие управле­ ние и и измеряемые величины:

ы =

+

i- і

Ф іX+

ф()-

(4.29)

 

 

 

 

 

Чтобы использовать

решение

задачи,

приведенное в

гл. 3, запишем уравнение цепи обратной связи в виде

 

и =

И М *о +

Фо).

 

(4.30)

ПО

где, как

видно из

Wlt ....

W„],

 

X

Ь

х х

Х 0 =

о■ в

_ д

^ _

сравнения

ф

ф1

II

>

_

Ф « _

(4.29) и (4.30), W0 — [W,

5 ф ф * 5 ф ф ! . .

 

^ Ф о — ■ ^ Ф і Ф ^ Ф і Ф і •

•^ Ф і Ф р

_ ^ Ф ? Ф S q i ^ r p , .

• 5 ( Р ? Ф « 7 _

•

(4.31) С учетом введенных «фиктивных» координат Ь {х уравне­ ния движения объекта (4.27) и функционал (4.28) перепи­

шутся в виде

 

 

 

 

 

ВоХо ~

M0U-|“ фо»

 

 

 

(4.32)

 

 

 

 

в =

(XQRQXQ) -f- (и Си),

 

 

(4.33)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'Р

0 '

 

 

ч

Г A il

 

'

М '

 

,

k =

а2

м 0 =

До =

А

Ек_

2 kt,

а =

,

. Oftxm.

 

 

 

ш

_АЙ_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.34)

 

 

• ф

 

 

 

0

 

R

 

 

 

 

> Я*, — 0

Ro =

0

'

 

Ф о =

,0/іхі

0кхк. »

.0

Okxk

Теперь для решения сформулированной задачи (уравне­ ния (4.32), (4.30), (4.33)) можно использовать конечные фор­ мулы гл. 3, только вместо х, ф, S,|,, cp, S (p, Р, М, R и W в них следует подставлять х0, ф0, 5 фо, ф0,S Vo, Р0, М0, R0 и W0, оп­ ределяемые соотношениями (4.31), (4.34).

Матрица искомых передаточных функций определяется

формулами

 

 

 

 

№0 = [Др ( S ) Н7' Q~ С + (К - -

До - А+ ) D~'M{

*

 

 

1 л — 1

H 7 ' Q 7 l [ N * R ; 0]),

* {(К - — А0 — L+) D~'pl

или

 

 

 

 

W —[(/С0 +

/С+ +

До + Д+ ) D М0— НВ]

83

X [(/Со +

/С+ +

До + д+) D -lP0 + НА],

 

где

 

 

 

 

Ар (я) = det Р,

 

 

 

 

N = Ар (s) Р ~ХМ,

ш

Смотрите также файлы