Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

'Р

— м

— М'

Zi

ßl г

ß2 .

«1

В свою очередь,

1 '

(4.12)

Фі

Л *

о

= Z—1

(4.13)

Л

ф 2

т. е. физическая реализуемость

функций F t и F'j) (F?3 и

а 1 — а 2 =

(4.14)

ßi = ß2= ß>

получаем, что

матрицы Z\ 1 =

ZT1 будут

аналитическими

в правой полуплоскости, если полином

Q = Pß +

Ма —

гурвицев.

Укажем теперь общую схему решения

сформулирован­

ной задачи. Выбрав

полиномы

a (s) и

ß (s) так,

чтобы

полином Q (s)

имел

нули только в левой полуплоскости,

найдем F f, f t ,

Ff- и F%‘ по формуле

Г**

--1

1

-1 ' Г о '

(4.15)

и

а.

ß

:Фі - ф 2_

= [Фі,

Фо].

Далее, определив, например, из (4.15) и (4.8) Fx, Fx\

Fx‘, найдем искомые передаточные функции

W —

ДФі

W —

РФ»

х -

*

1

M F* ’

2

“

MF* '

Приведем другой вариант решения этой задачи, ис­

пользующий результаты § 2

гл.

3.

Введем новую

«фик­

тивную» координату

у = X, т. е. движение объекта опишем

уравнением

Р0хо= ти-\- ф0,

где

ь

=

5*. =

О

'

p

0'

,

m =

'M'

- 1

1.

0 _

Требуется определить закон управления в цепи обрат­

ной связи W0u =

W (xQ+

ф) (операторные полиномы Wa (р)

и W =

iWi (р),

W2 (р) 1)

так,

чтобы на классе

устойчи­

вых замкнутых

систем

объект +

регулятор

функцио­

нал (4.4) достигал минимума. Здесь <р — двумерный

стацио­

нарный случайный процесс с компонентами фх и

ф2 и мат­

рицей спектральных

плотностей 5 Ф (ш).

формулы Х0, S y 0 И Р 0 И ПОЛОЖИТЬ

Р ~

Q Q

Итак, ре-

шение задачи определяется

формулами

-1

(с2 — S3) Р* (s)

+

(k - ■

m

~§* (s)

X

X

{k—— l0— /+) D~lP(

1

n*R

g*(s)

п =

Р (s) Р0 хт,

8* (s) g (s) =

rM* (s) M (s) +

(c3 — s2) P* (s) P (s),

=

Sij), + Р05фРo*i

(4.16)

K -\ -k+ +

k - = [ - ™ - n * P

J?(s)

а

P ö lD,

q(s)

К + 1+ + l——

1

ti-.i-.PSfpP0;i.D

g*(s)

q (S) =

p (s) ß (s) + ал.

полуплоскости

матрицы Z ==

вместе с обратной,

т. е. полином

q (s) = det Z должен

быть гурвицевым х.

и /-!- — правильные дроби с полюсами только в левой

полуплоскости,

и /_ — правильные дроби с полюсами

только в правой полуплоскости.

простоты полагаем

помехи некоррелированными.

Пусть

5 Фі = (Яф/Я^2, 5 Ф, =

(Яф/Я2)2. Требуется определить за­

кон управления в цепи обратной связи

W0(p)u = W1(р) (X+ Фі) + W2 {р) (X + q>j)

(4.18)

так, чтобы на классе устойчивых замкнутых систем в

уста­

новившемся режиме минимизировалась величина

е — с (и2) + (и2)

(4.19)

(а — s) x(s) =

Ми (s) Ц-1 |) (s),

I

и (s) =

(s) lx (s) + (Pl (s)] +

W2 (s) [X (s) +

cp3 (s)],

J

(4'

>

W1 (s) =

Го“ ' (s) W, (s),

(s) =

Г “ 1(s) # 2 (s)

(задача заключается в

определении

Wx (s) и

W2 (s)).

Дополним

уравнения

(4.20)

тривиальным

уравнением

— х + у =

0,

(4.21)

т. е. введем в рассмотрение «фиктивную» координату у =

х.

Тогда

уравнения (4.20) и (4.21) можно записать так:

Р0х0 =

та +

ф0,

и =

W (х0 + <р0),

где

Л ,=

Р

0

X

. Р = a ~ s , XQ —

У J -

Фо =

- 1

1

0

'M

5 Фо =

,

m =

,

Ф =

"фі"

0

0.

.0

.Фа.

S(fi —

5 Фі

0

,

и? =

[Wlt W,].

0

5,

Фг.

Как видно

из

(4.19), R =

0

0

.

Согласно

(4.16)

п —

0

0

Рп

-

т

= [т,

т]',

/„ =

/+ =

0.

Так

как

Z =

о

а

ß

Р

О

— М

— 1

1

О

,

то

требование

аналитичности

_«i(s)

a 2(s)

ß(s)

_

матриц Z и Z 1 в правой

полуплоскости

можно

удовлетво­

рить,

положив а =

[1;

0],

ß =

0,

т. е.

q{s) =

М,

g* (s) g

(s) =

(а2 — s2) (с2 — s2),

g (s) =

(а +

s) (c +

s),

Для факторизации матрицы D D воспользуемся

про­

цедурой, изложенной в [321.

Так

как

det(D D J =

1 а

(ä — s) (d +

5),

где

d =

= V a? +

-f- %l

> 0 , то,

выбрав матрицу

Т в

виде

1

Т =

s

d

s -f- d

0

1 J

где Ь ■■

**(д + Ф

, получим

ч+ч

kl

к

%‘d —кга

4 (a + d)

=

t l s + - i r n r

V + X’

1_

1

Определим теперь k_:

к

К

1

„ i

О

g(s)

„ p - 1 _

(д+ S) (c +

s)

^o"1 =

1

q(s)

0

M(a — s)

a — s