Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Пусть Hf = — 1, и закон управления для объекта, дви­ жение которого описывается уравнением (4.43) (для упро­ щения выкладок в (4.43) полагалось а — 2), будем разы­ скивать в виде

Минимальные значения функционалов elmin и e2mim со­ ответствующие законам управления (4.47) при а = 2 (см. рис. 2) и (4.50) (см. рис. 3), определяются, согласно (1.86), формулами

117

т. е. закон управления (4.47) при а = 2 (рис. 2) обеспечит всегда лучшее воспроизведение полезного сигнала г, чем закон управления (4.50) (см. рис. 3) *.

Таким образом, для оптимального воспроизведения полез­ ного сигнала передаточную функцию цепи обратной связи (см. рис. 3) нельзя выбирать произвольно (например, Hf = = — 1), а следует определять ее совместно с Gc из решения вариационной задачи. По-видимому, единственным исклю­ чением из этого правила является случай, когда нет реаль­ ной возможности измерять сигналы г и х раздельно, а суще­ ствует лишь возможность измерения разности этих сигна­ лов [26].

Укажем еще одну ситуацию, когда система, реализо­ ванная по схеме рис. 3, обеспечит худшее воспроизведение полезного сигнала, чем оптимальная система, изображенная

устойчивая замкнутая система будет оптимально воспроиз­ водить полезный сигнал г лишь в том случае, если он на вход системы не поступает. Оптимальный закон управле­ ния имеет вид

В то же время очевидно, что никаким выбором передаточных функций Gc и Hf нельзя одновременно добиться устой­ чивости замкнутой системы и реализации закона управле­ ния (4.54), оставаясь в рамках схемы, изображенной на рис. 3.

1 e2min асимптотически приближается к elmin лишь при у -> 0, т. е. Н тіл = е2т'т только при нулевом полезном сигнале.

118

Следует заметить, что идея использования звена для предварительной обработки полезного сигнала (на рис. 2 звено с передаточной функцией W2) высказывалась в [24]

И, наконец, приведем решение задачи синтеза оптималь­ ных линейных следящих систем в более общей постановке. Пусть движение объекта, предназначенного для воспроиз­ ведения программного сигнала г, описывается, как и в § 3 гл. 1, системой обыкновенных дифференциальных урав­ нений с постоянными коэффициентами

Таким образом, программный сигнал г (я-мерный вектор) поступает на вход системы с аддитивной помехой срЛ, вектор координат объекта х измеряется с помехой фд:, требуется оптимизировать (в смысле минимума функционала (4.57)), систему (4.55), (4.56) при условии, что яр, г, фг и ф~ — я-мерные некоррелированные стационарные случайные про­ цессы с нулевым математическим ожиданием и известными матрицами спектральных плотностей.

Решение задачи аналогично приведенному выше реше­ нию задачи синтеза следящей системы по одной координате

119

где

Таким образом, задача синтеза оптимальной линейной следящей системы сведена к задаче синтеза системы ста­ билизации объекта, движение которого описывается урав­ нениями (4.59) при критерии качества (4.60), и, согласно 3 41), решение имеет вид

а элементы матриц Л и В должны удовлетворять требова­ нию аналитичности в правой полуплоскости матрицы

Р— М

вместе с обратной.