Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 0
(1.36)) вместе с обратной, оказывается весьма перспективной при решении значительно более сложных задач.
Ниже с помощью метода, базирующегося на идеях § 2, будет решена задача синтеза системы стабилизации при п внешних возмущениях и т управляющих воздействиях.
Пусть движение объекта описывается системой обыкно венных дифференциальных уравнений с постоянными коэф фициентами
|
Рх = Ми + і)\ |
(1.51) |
|
где X — [xL (і), ..., |
хп |
(I) 1' — п-мерный вектор координат |
|
объекта, и = [% (t), |
..., |
ит (01' — nz-мерный вектор управ |
|
ляющих воздействий, |
ф = [фі (0, |
фп (01' — п-мерный |
|
вектор внешних возмущений, компоненты которого ф* (()— стационарные случайные процессы с нулевым математи ческим ожиданием и дробно-рациональной матрицей спект
ральных плотностей |
5ф (со), Р и М — матрицы |
п X п и |
п X пг соответственно, |
элементы которых рц (р) и Шц (р) — |
|
операторные полиномы от р = -^d-. |
|
|
Требуется определить уравнение регулятора |
|
|
|
W0u = Wx |
(1.52) |
так, чтобы замкнутая система объект -f- регулятор была устойчива (все нули характеристического определителя, соответствующего системе уравнений (1.51), (1.52), не долж ны иметь положительных вещественных частей) и функцио нал
е = (x'Rx) + (и'Си> |
(1.53) |
достигал минимума.
Здесь W0 и W — матрицы т X т и т X п соответст
венно, элементы которых ю°,- (р) и ш,-/ (р) — операторные полиномы от р, ( ) — знак математического ожидания, R и С — весовые матрицы.1
1 Здесь и далее, если не оговорено противное, приняты следующие обозначения: прописные буквы обозначают матрицы, строчныебуквы — вектор-столбцы и вектор-строки, штрих сверху — операция транспони рования.
Векторы перемножаются по правилам матричного исчисления (век тор-строка рассматривается как матрица 1 X а, вектор-столбец — как матрица п X 1).
27
Используя преобразование Лапласа к уравнениям (1.51), (1.52), получаем
Р (S) Л- (s) = М (s) и (s) -1- ф (s), |
(1.54) |
|
и (S) = |
W(s) X (s), |
(1.55) |
lF(s) = |
H70- 1(s) # ( s ) , |
(1.56) |
s = |
а -|- /со. |
|
Введем матрицы передаточных функций Fx (s) и Fu (s) между координатами системы х (s) и и (s) и внешним воз мущением ф (s):
x(s) = |
Fx(s)ty(s), |
1 |
|
и (s) = |
(s) -ф(s), |
J |
' |
которые, согласно (1.54) и (1.55), определятся формулами 1
Fx =*{P — M W r\ Fu = W (Р — MW)~l. (1.58)
Поскольку замкнутая система должна быть устой чивой и, следовательно, элементы матриц Fx и Fu не долж ны иметь полюсов в правой полуплоскости, то, используя преобразование Фурье (полагая s = /со), функционал (1.53) можно записать в следующем виде:
/оо
е = Т |
J |
Sp {[Fn RFx + Fujf F u] S*} ds. |
(1.59) |
' |
_ / |
» |
|
Таким образом, задача сводится к определению матрицы W такой, чтобы замкнутая система объект регулятор была устойчива, а функционал (1.59) достигал минимума.
Как и при решении одномерной задачи, вариации б W при минимизации функционала (1.59) следует ограничить
так, чтобы соответствующие вариации бFg и |
ÖFU функций |
Fx и Fu, удовлетворяющих уравнению связи |
|
P FX— M FU— Еп3 |
(1.60) |
(Еп — единичная матрица), имели бы полюсы в левой полу плоскости.12
1 В дальнейшем для простоты аргумент s опускается.
2 Это уравнение получается после подстановки (1.57) в (1.54).
28
Согласно (1.60), п (п + т) элементов матриц Fx и Fu удовлетворяют п2 уравнениям связи и, следовательно, они могут быть выражены через тп независимо варьируемых функций.
Если по аналогии с § 2 ввести матрицу Ф размера in X п следующим образом:
Ф = AFX+ B FU, |
(1.61) |
где А и В — полиномиальные матрицы т X п и /п х т соответственно, то все элементы матриц Fx и Fu могут быть выражены, согласно (1.60) и (1.61), через тп свободно варьи руемых элементов матрицы Ф.
Из соотношений (1.58) и (1.61) может быть найдена иско мая матрица передаточных функций регулятора
W = (В + Ф Л 4Г1(ФР — А). |
(1.62) |
Используя блочные матрицы, перепишем матричные уравнения (1.60) и (1.61) в виде
F,
(1.63)
" [ Ф
где
Р~ м
|
Z = |
|
В |
|
(1.64) |
Тогда |
А |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
Z |
- 1 |
ф |
(1.65) |
|
|
|
|
|
|
причем, согласно формуле Фробениуса [5], |
|
||||
|
Z-1 = |
Ѳц |
Ѳ12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ® 2 1 |
|
|
|
|
Р~х— Р~1М (В + АР~ХМ)-1АР~ 1 Р-'М (В + |
АР-'М)-1 |
||||
— (В + |
АР~ХМ)~ 1АР~Х |
|
|
{В+ АР~ХМ)~Х |
|
|
|
|
|
|
( .66) |
ИЛИ |
|
|
|
|
|
(Р + |
МВ~ХА)~Х |
(Р + |
МВ~ХА)~ХМВ~Х |
||
Z |
|
|
|
В-'А(Р -Ь МВ~ХА)-ХМВ~Х' |
|
- В~ХА (Р + МВ-'АГ1 В~х- |
|||||
|
|
|
|
|
(1.67) |
Введя обозначения: |
|
|
|
|
|
|
Ар (s) = |
det Р, |
(1.68) |
||
N = |
Ap (s)P |
VW, |
(1.69) |
Q = |
Ap (s) В + |
AN, |
(1.70) |
матрицы Fx и Fu, определяемые (1.65) и (1.66), можно запи сать в виде
FX= |
P - 1+ N Q -1( 0 - A P ~ 1), |
(1.71) |
Fll = |
Ap (s)Q -i ( 0 - A P - 1). |
(1.72) |
Так как матрицы Fx и Fu должны быть аналитическими в правой полуплоскости, то, подставив (1.71) и (1.72) в (1.59), получим
|
/ ° ° |
|
|
е = \ |
\ Sp[l[P7'(® *-P7% )Q 7'M :l]R [P -' + |
|
|
|
~ jco |
|
|
+ |
NQ~l (Ф - АР~)] + (Ф, - р 7'А*) х |
|
|
К Q7'A; (S) САР (s) Q -1(Ф - АР~1)} 5ф] ds = |
|
||
|
|
/со |
|
= - М |
S p ( [ 0 „ Q r 'G . G Q - ' O + O . Q r 1 X |
|
|
|
— / м |
|
|
X (Лу? - |
GJSQ-'A) Р ~ 1+ Р ~ 1(.RN - A,Q7'GtG) Q~' Ф + |
||
|
°7\Р - A.,Q7]^ R - RNQ-'A + |
|
|
|
+ |
/1,Q7,G ,G Q -^ )P -|] S ^ } ^ , |
(1.73) |
|
G,G = N JiN + &Us) CAP (s). |
(1.74) |
|
Выясним, при каких условиях сформулированная выше задача минимизации функционала (1.59) на классе устой чивых замкнутых систем эквивалентна задаче минимизации функционала (1.73) на классе физически реализуемых функ ций Ф 1.
Поскольку минимум функционала (1.59) разыскивается на классе физически реализуемых функций Fx и Ftl, а мини мум функционала (1.73) методом Винера — Хопфа нахо дится на классе физически реализуемых функций Ф, то при минимизации этих функционалов могут допускаться только аналитические в правой полуплоскости вариации 8FX, 8FUи
1 Еще раз отметим, что физически реализуемая передаточная функ ция — это функция, аналитическая в правой полуплоскости, т. е. соот ветствующая ей весовая функция равна нулю при t < 0.
30
