Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
J*-Wb'^M-A •C4-II)
В формулах ( 4 . I I ) |
и (4.12) |
коэффициент ß>+(K~i} берет |
||
ся с плюсом, если К> і |
, |
и с минусом, если К< |
і |
|
С помощью формул |
(4.II.) |
и (4.12) можно составить |
общую |
|
систему уравнений, характеризующую процесс обработки замкну той системой с периодическим коэффициентом передачи периоди- ч ческого входного воздействия. Полный учет спектрального
состава сигналов ЭС$) и ^'(t) приводит к системе ал гебраических уравнений бесконечного порядка. Если же пренеб
речь высшими гармониками сигналов, |
считая |
их малыми, можно |
||
прийти к системе конечного порядка |
2/7 + |
/ |
, где |
П - |
число учитываемых гармоник. Возможность учета в спектре сиг налов только П гармоник, определяется фильтрующими свой ствами заданной системы и зависит от конкретной формы коэффи
циента передачи |
f<(t) |
и сигнала |
?(t) |
Дальнейший |
расчет |
амплитуд гармоник |
производится обыч |
ным порядком, путем решения полученной системы алгебраических
уравнений |
[ |
/ 4 |
] . |
Запишем эту сиотему в матричной |
форме: |
||||||||
|
|
|
MQ |
= |
I , |
|
|
|
|
|
. |
(4.13) |
|
где А / |
|
- квадратная матрица |
|
(£/7 * |
/ ) |
- |
го |
порядка, |
|||||
составленная |
из |
коэффициентов гармоник; |
Q |
- |
столбец из |
||||||||
неизвестных |
амплитуд гармоник; |
J |
- столбец |
из |
амплитуд |
|
|||||||
гармоник |
эквивалентного |
входного |
периодического |
сигнала J |
ff) |
||||||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
|
|
|
I = |
• |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
£7 |
|
|
|
|
|
|
Неизвестные |
Q: |
и |
2. |
определяются как |
отношение |
опреде- |
|||||||
лителей |
Д , |
и |
Л |
|
и главного |
определителя |
системы |
А |
: |
||||
a. |
Лa.; |
|
6.- |
|
& |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
лп |
158 |
|
причем |
Ла. |
получается из главного определителя заменой |
|||||||||
2L |
- |
го |
столбца, а |
|
- |
заменой |
£і+ |
1 |
- |
го |
|
столбца |
столбцом I . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ниже в качестве примера приведен общий вид определителя |
||||||||||
Дг |
при учете |
двух первых гармоник спектра выходного сигнала |
|||||||||
(выражение (4.14). Так как закон |
образования элементов |
оп |
|||||||||
ределителя |
Аг |
понятен, он |
без |
труда может быть расширен до |
|||||||
определителя |
à n |
любого |
порядка. Если |
Щ(р)= / |
, |
т . е . |
|||||
G =1, |
|
D |
= 0, определитель |
(4.14) совпадет |
по форме |
с |
|||||
определителем |
(3.42). |
|
|
г |
|
|
|
|
|||
|
Таким образом, расчет вынужденного движения замкнутой |
||||||||||
системы, показанной на рис. 4 . 1, не вызывает принципиальных |
|||||||||||
затруднений. Несмотря |
на кажущуюся громоздкость, |
нахождение |
|||||||||
определителя |
|
Д , |
производится достаточно просто, при за |
|
|||||||||
данных динамических |
свойствах системы |
ЩСр) |
и |
|
Ws |
fä) |
|
|
|||||
и входном сигнале |
PC С fi • Естественно, что |
увеличение |
точ |
||||||||||
ности расчета, т . е . учет большего числа гармоник сигналаy(Ô |
|
||||||||||||
приводит-к увеличению трудоемкости расчета определителей. Од |
|
||||||||||||
нако, |
поскольку |
все |
они являются числовыми, при их решении |
|
|||||||||
могут быть использованы все правила преобразования определи |
|
||||||||||||
телей |
[ 14 |
] |
.Нужно отметить, что |
в данном случае, |
посколь |
||||||||
ку частота |
Q |
|
искомого периодического процесса |
|
известна, |
|
|||||||
приступая к расчету, можно более обоснованно выбрать целесо |
|
||||||||||||
образное число |
п |
учитываемых в процессе J/cfi |
|
гармоник. |
|
||||||||
Рассчитывая |
значения |
|
0/} |
|
А |
|
О |
Л |
, |
||||
частотных характеристик rrr, |
°к |
|
> Ч* > |
|
|||||||||
можно отчетливо представить-фильтрующие свойства системы и |
|
||||||||||||
на основании этого определить номер, начиная с.которого |
|
|
|||||||||||
высшие гармоники можно считать пренебрежимо малыми. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Как следует |
из |
выражения (4.14) |
для определителя |
|
А . |
|
||||||
I |
159 |
I |
\ MA |
PC — *
н<ио 2
1 ° 2
'•-в,ц
ас
-*А т
<*А Т :
-on
ös4
•*AA £
1* „
*м ¥
-afi £ -#А
в,с ^ •
-«A |
ВА f |
|
•
г :
. е л * ? . |
Vi ßr |
в,с, |
£ф |
\a/t <*,-"'
*A f
:*A ¥
«л f
-*А |
т ; |
упрощение расчета может быть достигнуто правильным выбором на
чала |
отсчета. Целесообразно |
момент |
времени |
1=0 |
опреде |
|
лять так, чтобы периодический коэффициент |
был, если |
|||||
это возможно, |
симметричным. В этом |
случае коэффициенты Фурье |
||||
Оі- либо J2>; |
становятся равными нулю и исходное |
выражение |
||||
получается проще. Если коэффициент |
к(£) |
постоянен, т . е . |
||||
к(£) |
= ^р-0 , |
определитель |
Ап |
для расчета периодического |
||
движения стационарной системы принимает следующий вид: |
||||||
|
т ' |
о |
\ |
0 |
: ° |
: |
° |
|
|
|
|
\ *А ? |
|
||||
о |
|
|
О |
: |
0 |
|
||
'Mf |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
О '•-M? |
|
|
О |
|
О |
•(4.15) |
||
|
|
|
|
|
||||
О |
|
о |
|
о |
|
|
|
|
о |
|
о |
|
о |
- 4 4 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
Определитель |
|
Ап |
(4.15) |
легко |
приводится к форме: |
|||
где Л |
* /+ |
W/o)#0 f |
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
сУ0 |
А. = |
-(ß.C. f |
* P-M f) |
|
/+#Д¥ - s. Д |
||||
41 |
|
|
|
|
|
"ta |
? 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 Зэк. 161D. |
161 |
|
Заменяя |
/ - ый столбец определителя А |
столбцом |
/ , получим: |
|
|
А - А А -А. • • Д. • '--А Г S//+/ЭГ ~-я т\?!°\
Отсвда легко получаются значения амплитуд гармоник:
Эти выражения совпадают со значениями гармоник, получае мыми для реакции стационарной замкнутой системы, которые мож но получить обычным способом, используя частотные характерис тики.
§ |
4.2. Эквивалентные схемы системы для |
расчета |
|
|
вынужденных колебаний |
|
|
Трудоемкость расчета вынужденных колебаний замкнутой сис |
|||
темы с |
периодическим коэффициентом передачи |
КСО 30 |
многом |
зависит от сложности расчета главного определителя системы А Так как его порядок выбирается в соответствии с требуемой точ
ностью расчета, |
решение Д |
будет тем проще, чем более |
простыми будут |
его элементы. |
В общем случае расчет элементов |
зависит от вида частотных характеристик линейных стационарных
частей У.(р) |
и ЩСр) |
. |
162 |
|
|
Расчет элементов можно упростить, если рассматривать пол ные частотные характеристики системы, определяющие ее динами ческие свойства, т . е . если ввести характеристику свойств с помощью передаточной функции Последнее можно выполнить с помощью эквивалентных структурных преобразований.
Одним из |
очевидных преобразований схемы является перенос |
звена Щ(р) |
через сумматор (рис. 4.2). |
X pro H®
Рис. 4.2.
Так как преобразование сигнала у ft) стационарной цепью W/ф) можно рассчитать весьма просто, при определении вынуж денных колебаний системы можно перейти к расчету периодичес кого сигнала У'ft) • Структурно это соответствует переносу звена \\Ç(p) через узел разветвления. Эквивалентное струк турное представление показано на рис. 4.3.
xCÖ ' |
• |
Рис. 4.3.
Благодаря такому структурному представлению при расчете сигнала у'ft) можно воспользоваться определителем (3.42). Действительно, т . к . переменный коэффициент стоит сразу за сумматором, эквивалентная цепь
1Г