Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

производной у'. Но точка хх = 0 является и критической точкой функции, и мы уже установили, что это точка максимума. Остается

только исследовать точку х3.

Если х — любая точка из достаточно

малой окрестности точки х3,

то

у"^>0

при х<< — У 2 и

г / " < 0

при х^> — уг2, откуда следует,

что х3

— — y^2 есть точка

пере­

гиба, в которой вогнутость переходит в выпуклость; ордината этой

точки г/3

= /"(— ^"2J =

— у"2. Далее,

при

х < 1

г / " < 0 ,

а

при х > - 1

/ / " > 0 . Поэтому

на промежутке

 

( — с о ; — у

2 ]

график

 

 

вогнутый,

на

промежутке

 

 

(—1^2;

l) — выпуклый и

на

 

 

промежутке ( 1 ; +

со) — снова

 

 

вогнутый.

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходим к определению

 

 

асимптот;

у =

со при

х =

1,

 

 

в

силу

чего

прямая

х =

1.

 

 

является вертикальной

асимп­

 

 

тотой

графика.

Далее

 

 

 

 

k=

lim — =

lim

—

 

1;

 

 

 

 

Ь—

lim (у—kx) =

 

 

Рис. 33

 

=

 

п т

 

 

-X

•О,

 

 

 

 

 

±оо \Х3 — 1

 

 

 

откуда следует, что прямая у = х является наклонной асимптотой графика функции при х + со и при х -> — со (рис. 33).

2.15. УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Выше было определено понятие касательной к кривой. Теперь

определим понятие

нормали.

 

 

Определение. Нормалью

к плоской

кривой в точке М

называется

прямая,

проходящая

через

точку М

перпендикулярно

касательной

к кривой

в этой точке (рис. 34).

 

 

Пусть гладкая кривая задана уравнением у = f (х), а точка М имеет координаты (х0; у0). Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М равен значению у'0 производной у' в этой точке. Но тогда, в силу условия перпендикулярности двух прямых, уг­ ловой коэффициент нормали к кривой в точке М будет, равен —

У'О

(считаем, что у'0фОу Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей через точку М (х0; у0), имеет вид

58

У— Уо = k (х — х0), где /г — угловой коэффициент прямой. Сле­ довательно, для касательной к рассматриваемой кривой получаем уравнение

а для нормали

У—Уо =

Уо(х—хо

 

 

 

 

(2.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У—Уо'-

 

1-(х—х0).

 

 

 

 

(2.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

Уо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если кривая задана

неявным

уравнением

вида F (х,

у)

= О,

то производную у' находят по правилу дифференцирования

неяв­

ной

функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

Написать

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

касательной

и

нормали к

эллипсу

 

 

 

 

 

 

 

 

.Vs

+

Зу2 = 7

в

точке

М (2;

— 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцирование

дает

2х

- j -

 

 

 

 

 

 

 

 

+

$УУ' = 0.

откуда у' =

 

— ;

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уо = У \м

 

3 ( - 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

34

 

 

 

 

 

 

Для касательной

получаем

уравнение у +

1 =

—

(х — 2)

или

2х—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— Зу — 7 =

0, для нормали

у +

1 =

— (х — 2) или Зх +

2у — 4 = 0 .

 

 

2.16. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

 

 

 

 

Рассмотрим кривую АВ, начало которой

будем считать в точке

А,

а конец — в точке В,

и возьмем на ней ряд точек А = М0,

 

Мъ

Мй,

. . . , Мп—и Мп

= В,

следующих друг за другом

вдоль

кри­

вой

(рис. 35). Соединив

 

последовательно

эти

точки

прямоли­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нейными отрезками,

впишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в дугу АВ ломаную линию,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

длину

которой обозначим че­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рез sn.

Для

различных

л

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

различных

способов

выбора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точек

Мк

(k = 1, 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у п — 1 ) значения

величины s„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будут

различными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Символом

max

| Mk-\Mk

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначим

наибольшую

 

из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

длин сторон ломаной

М0М1...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мп-\Мп.

 

Если при

условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max | Mk-\Mk

 

I .-s- 0 (при этом

 

 

 

 

Рис. 35

 

 

 

 

условии,

конечно,

п -> со)

59

величина

s

стремится

к

конечному пределу

s,

не зависящему от

способа выбора точек

Mk,

то

кривая АВ называется с п р я м ­

л я е м о й ,

а число s

называется д л и н о й

 

этой кривой.

Пусть

плоская

кривая

АВ

(рис. 36) задана

параметрическими

уравнениями

 

* = ф(0 . # =

 

 

(2-27)

 

 

 

 

 

где функции

ф (i)

и g

(t)

имеют непрерывные

производные, не об­

ращающиеся одновременно в нуль, и допустим, что при t = а по­ лучается точка А, при t = р — точка В. Можно доказать, что при этих условиях кривая АВ будет спрямляемой й что в этом случае предел отношения длины любой дуги кривой АВ к длине хорды, стягивающей эту дугу, при стремлении длины дуги к нулю равен единице.

Рис. 36

На кривой АВ возьмем точку М (х; у), которой соответствует значение ^-параметра. Длина s дуги AM будет, очевидно, функцией

от t : AM = s = т|з (t). Задача фактического отыскания длины дуги, т. е. функции s = яр (/) по заданным уравнениям (2.27) кривой решается в интегральном исчислении (см. § 7.4). Здесь же найдем

дифференциал этой функции, который назовем

д и ф ф е р е н ц и ­

а л о м д л и н ы д у г и .

 

 

 

 

 

 

 

 

На кривой возьмем еще точку N и пусть At,

Ах, Ay, As будут

приращения параметра,

декартовых

 

координат

и длины дуги при

переходе от точки М к точке N. Для длины хорды MN имеем MN

=

— У Ах2 + Ау2,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MN

л

Г(Аху

 

 

.

(Ауу

 

 

 

 

~АТ

= У (17)

+{А7)

•

 

_

 

Умножив и

разделив

левую часть этого

равенства на MN

=

= As, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MN

As_ _

/

/Ал:\ 3

IAy \ 3

 

 

 

~Ш'

At~V

 

\At)

+

\Atj

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

При -> 0 точка N будет неограниченно приближаться к точке М и расстояние между ними будет стремиться к нулю, а потому

при 0 в силу сказанного выше будет ^5 -> 1. Следовательно,

MN

в пределе при At -> 0 предыдущее равенство перейдет в следующее:

ds_

 

dy_\2

(2.28)

dt

dt )

dt

 

откуда

 

 

 

ds=y

dx2+dy2

(2.29)

Это и есть искомое выражение для дифференциала длины дуги плоской кривой. Из формулы (2.29) следует, что ds есть длина ги­

потенузы

прямоугольного

треуголь­

 

 

 

ника с катетами

dx и dy.

Но

тогда

 

 

 

(рис. 37) дифференциал длины дуги ds

 

 

 

геометрически

 

представляет

собой

 

 

 

длину отрезка

касательной к

кривой

 

 

 

в точке с абсциссой х, соответствую­

 

 

 

щего интервалу

[х; х

+ Ад:].

 

 

 

 

Предположим

теперь,

что

кри­

 

 

 

вая А В

задана

уравнением

 

 

 

 

;

t/ = / ( x ) ( a < x < 6 ) ,

(2.30)

 

 

 

причем

/ (х)

обладает

непрерывной

 

 

 

производной.

Задание

кривой

урав­

 

 

х+Ах

нением вида (2.30) можно рассматри­

 

 

вать как частный случай

параметри­

 

Рис.

37

ческого

задания

(2.27);

убеждаемся

 

в этом, взяв х за параметр и напи­

 

 

 

сав х =

х,

у =

/ (х).

Таким

образом,

кривая

АВ

оказывается

спрямляемой, и вместо (2.28) получим

 

 

 

откуда

 

 

 

 

ds=\/~l+y'2dx.

 

 

(2.31)

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти дифференциал

длины дуги

кривой

у = х3.

В этом слу-

чае у' =

З*2

и по формуле (2.31) ds = У1 +

9х*dx.

 

 

2.17.КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Ниже построены величины, характеризующие степень искрив­ ления кривых. Рассмотрим спрямляемую плоскую кривую, имею­ щую в каждой точке касательную, и вырежем дугу MTV этой кри­ вой длины As (рис. 38).

61

Смотрите также файлы