Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,83Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда	следует, что		— 2С = 2, 2D = — 1,
т. е.			— 2С = 2, 2D = — 1,
т. е.
			С = — 1, D = — — .
				2
Для	определения		коэффициента А положим х = 0; тогда полу
чим
Так как			Л + В + D = 5.
Так как
			В + D = 4,
то Л = 1.
Получили те же значения искомых				коэффициентов.	Этого и
следовало		ожидать,	так как, согласно	приведенной теореме, раз
ложение		правильной	дроби на простейшие единственно.		Указан

ный прием особенно эффективен тогда, когда знаменатель дроби

имеет только простые вещественные корни. В этом случае						разло
жение имеет вид
	——— =	1	(-•••-!	г • • • i	•
	Рп (X) X — Сг		X — Cn	X — С/;	х — с„
Для	определения	коэффициента		Ак умножим это равенство на
х — ск	и в полученном		тождестве	положим х = ск; тогда		сразу
находим
	Ak =		^		, (5.4)
	( c k - c i ) <	• • • > ( c k - c k - i ) ( c k - c k + \ ) ' • • -			{ с , - ° п )

т. е. коэффициент Ak равен значению числителя дроби при х = ck, деленному на произведение разностей между этим корнем и всеми остальными корнями.

Пример 2. Разложить	дробь		3v + 1
Пример 2. Разложить	дробь		—	и а простейшие.
		— 1) (ж +		I) (JC — 2) (JC 3)
В данном случае знаменатель имеет только простые корни
сг = 1, с 2 = — 1, с3 = 2, с4 = — 3.
Применяя формулу (5.4),		находим
	АГ-	3-1 + 1		1
	АГ-	2 ( - 1)4
		2 ( - 1)4
А		3-(-1) + 1	_	1
	2	( _ 2)( - 3) - 2		6 '
	л	_. 3-2 + 1	7
	Г\ ту	1-3-5.		.
		1-3-5.	15
АЛ	= -	3-(—3)+ 1	=	2
	( _ 4 ) ( - 3 ) ( - 5 ) _			15

104

Таким образом, имеем
Зх + 1				1	1	1	1	,
(л— 1) (л.-+ 1) (х — 2) (х +		3)	_	2	х — 1		6	х + 1 ^
+ - ^	-	! -	+	^	—	U
15	х —2			15 х +		3

Для определения коэффициентов разложения могут быть применены различные искусственные приемы. Один из таких приемов продемонстрируем на следующем примере.

Пример	3. Разложить		дробь		-			на	простейшие.
				(х +	4 ) ( х - 2 )
Замечая, что разность сомножителей знаменателя равна 6, можно вы
полнить следующие		тождественные преобразования:
	1	1	х +	4 — (х —2)		_	1	/	1	1 _ \ _
(х +	4) (х — 2)	_ 6	(х + 4) (х — 2)			~	6	[ х — 2		х + 4 /
		_	1	1	1	1
		~	6	х — 2	6	х +	4	'

Вообще при разложении правильной дроби на простейшие сле дует иметь в виду, что такое разложение единственно и поэтому совершенно безразлично, каким путем оно достигается. Комбини руя в случае надобности различные приемы определения коэффи циентов разложения, можно значительно упростить вычисления.

5.2.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Очевидно, достаточно рассмотреть интегрирование только пра вильных дробей, так как всякую неправильную дробь путем деле ния числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена, который легко интегрируется, и правильной дроби.

Теоремой же о возможности разложения правильной дроби на простейшие вопрос об ее интегрировании сводится к интегрирова нию простейших дробей.

Покажем, что простейшие дроби интегрируются в конечном виде; тем самым будет установлено, что всякая рациональная функ ция интегрируется в конечном виде и будет дан способ вычисления

интегралов от таких			функций.
Интегралы		простейших дробей первого типа вычисляются
просто:
при k =	1
J		х - a	J х ~ а	1

при /е = 2, 3, . . .

J ( х - a ) *

J {x — a)k

\ - k

(х-а)"'1

105

Для интегрирования простейших дробей второго типа предва рительно преобразуем квадратичный трехчлен, стоящий в знаме нателе, к сумме квадратов (дополнением до полного квадрата):

2 -\|- рх + q = [х + -££ + Ц ~ ^ = (х + -§-) + а2
^через а обозначено положительное число	и сде-
лаем замену переменной по формуле

Тогда

получим:

г*

•dx = M

tdt

N—M-P-

(*)

(x*(х

J (fl + aP)k- '

У J

q)k

Дальнейшие вычисления

выполняем раздельно

для

k = 1 и

k =

3, . . .

При k — 1 (см. пр. 6

4.3)

?_M*±N_dx

С_Ш_

_р\

J * 2 + P* + <7

J Р + а*

2 ]) t2

+ a2

| - l n ( f -

a2 )

2N — Мр

2а

arc tg

h С =

= ~ln(x2 + px + q)-

2N — Mp	arc tg	с .

При k	= 2,	3, . . . первый интеграл в				правой части равенства
(*) вычисляется		просто:
		1 р rf(/2	+ a2 ) _	1	l	•С.
		(i2 +	а2 )*	2	1 —k	•С.
( / 2	_\|_ a2)fe	(i2 +	а2 )*	2	1 —k	(t2 + a 2 ) * - 1

Для вычисления второго интеграла поступим следующим об разом. Обозначим

г	С	dt
	(t2 +	a2)k

Так как

	dt	t2	+ a2 — t2
I (t2 + a2)*		* 1	dt =
I (t2 + a2)*			(t2 + a2)k
1	I (t2	a7	*2 d/
	I (t2	+ a 2 ) * - 1	J;(/2 + a2 )* J

106

то

а*\

(<2 +

а2 )*,

Ко второму интегралу в правой части применим формулу ин

тегрирования

по частям,

полагая

tdt

— dv,

t — U.

(t2

а2)''

Тогда

v =

— у — г , da — dt

2 ft — 1 (i2 +

a2)k-x

и,

следовательно,

С t2dt

1__1

,)(/ 2 +

а 2 ) * _

—1

(t2 + a2)k-]

2 (ft — 1) J

(^ - ba 2 )* - 1

Таким

образом

получаем

/ = _ L / 7

+ L

a 2

2 (A — I)

(<2 + а 2 ) * -

2 (ft— 1) * - i

или

/,=

—

2*~3

J. .

(/г =

2, 3, . . . ) •

* 2 a 2 ( f t - l )

( ^ 2 + a 2 ) ft - l 1

2 a 2 ( f t - l )

Полученная формула позволяет находить (без интегрирования)

интеграл 1к, если известно

выражение для интеграла с индексом

на

единицу

меньше

I k - \ -

Такого

типа формулы

называются р е -

к у р р е н т н ы м и.

В данном случае, зная что

1л—

= — a r c t g

\-С,

находим

по рекуррентной

формуле

/ 2

= —

*2 + а2

arc tg

г-С.

2а2

2а3

Используя

полученное

выражение для / 2 , по той же формуле

находим

з =

а2

arc tg

4а2 (г"2

а 2 ) 2

8а* Г2 +

8а5

и т. д. Таким образом, последовательными вычислениями можно получить выражение для интеграла I k при любом k.

Для получения окончательного выражения неопределенного интеграла простейшей дроби второго типа при k = 2, 3, . . . нужно лишь в полученном результате возвратиться от переменной / к пер воначальной переменной х.

Рассмотрим примеры на интегрирование рациональных функ ций.

107

С	х3	- 1	- 2	dx.
Пример 1. Вычислить \	— '			dx.
J x-x		+	x - l
Подынтегральная .функция	представляет собой неправильную дробь,

поэтому прежде всего выделим из нее целую часть. Деля числитель иа зна менатель, получаем

- * 3 + 2 . = 1 + .	х * - х + 3
х3 — А 2 + А — 1	х3 — х 2 -J- х — 1

Разлагаем знаменатель полученной правильной дроби на множители: х3 — А 2 + х — 1 = х* (х — 1) + х — 1 = (х — 1) (А 2 + 1).

Таким образом, корнями знаменателя являются числа 1, i, —С. Под

ставляя эти числа в числитель дроби, убеждаемся, что они не являются кор нями числителя (дробь несократимая). Разлагаем дробь иа простейшие:

			х а	— х + 3	_	А	Вх+С
			( А - 1 ) ( х 2 + 1)			. V - ] А-2 +1
Освобождаясь		от знаменателей,				получаем	равенство для определения
коэффициентов А,		В, С
	х2 — х +			3 = А (А-2	+	1) + (ВА- +	С ) (А- — 1).
Полагая	х =	1,	находим
						2
Полагая	х =	i,	получаем

В + С = — 2, С — В = — 1,

откуда
с	= — L	, в =	—-
	2		2
Итак*
*3 +2	ds-ffi+J—!		L £ ± 2 b , =
А"3 — А 2 + X — 1	J \	2 А — 1	2 А 2 + 1 ]
= х + — In \| л — 1 \|		- 1 п ( х 2 + 1 )	— arctgx + C .
2	4		2

A 2 dx

Пример 2. Вычислить

2+ З А 2

Вданном случае подынтегральная функция — неправильная рацио нальная дробь. Для выделения целой части можно поступить следующим образом:

А 2		1	З А 2 + 2 — 2		1 /	2
2 + З А 2		3	2 + З А 2		3 V	2 + Зх2
Следовательно,
x*dx	I	f / ,	2	\ d x	= 1	г, Г
+ ЗА 2	3 J V		2 + З А 2 /		3 \	J 2 + З А 2
Для вычисления		полученного		интеграла сделаем замену переменной,
по формуле					2t\
			З А 2	=	2t\

108

Смотрите также файлы

Караваев М.М. Промышленный синтез метанола.pdf

Лабораторна робота №13 Оформление.doc

Кашепава М.Я. Современные отечественные и зарубежные координатно-расточные станки обзор.pdf

Лабораторна робота №13.doc

Косачев Г.Г. Экономическая оценка сельскохозяйственной техники.pdf

Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно