Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Полагая

получим

dx =

Таким образом,

Г

dx

JГ 2 +

Зх'

/

l

l

2 +

2^2

—

-

l

I

l / farcigt

+

C =

- L

y | a r c

t g j /

j x -

C .

Окончательно

I

x2

dx

1/ ¥arctgl/ д.- М - С.

J 2 + 3x2

Пример 3.

Вычислить

dx

х 2 ( х 2 —4)

Подынтегральная функция — правильная дробь. Разлагаем ее на про­

стейшие дроби

следующим

образом:

1

1

х 2 —(л-2

—4)

1

х 2 ( х 2

— 4)

4

х 2 ( х 2 —4)

4

\х

4

х 2

1 х +

2 — ( х —2)

1

1

I

1

J _ _ l _

4 (х + 2) (х — 2)

16 х - ^ 2

16 х + 2

4

х 2

Следовательно,

dx

1

1

1

dx

=

х 2 ( х 2

—4)

V 16

х —2

16

х +

2

4

х 2

:

_ L 1 п | * _ 2 | — — I п | * + 2 | + — — • С =

16

16

4

х

=

— I n х — 2

4х

С.

16

х + 2

Пример 4.

Вычислить

dx

Xs

— 1

Подынтегральная

функция — правильная

дробь.

Знаменатель

дроби

разлагается на

множители

х 3 — 1 = (х — 1) (х2 + х + 1).

Разлагая дробь

1

на простейшие,

получим

— 1

х 3

dx

_

1

dx

I

f

х + 2

• dx.

х" — 1~~ 3 J х — 1

3 JJ х*2 2 ++ хх- + :

Первый интеграл

в правой

части вычисляется

сразу:

dx

=

In |х — 1 I + С.

Для

вычисления

второго интеграла

простейшей дроби

х + 2

пре-

х2 + х + 1

образуем

ее знаменатель к сумме

квадратов

+ •

* а + * +

1 = х

+ 1

и сделаем

замену

переменной

t = •х -

J

2_

2

У з

У 1

4

9

arctg* + C =

(хх +

1) + V

3 arc tg ? ^ ± Д

+

С.

У

з

Представляя первое слагаемое в виде суммы логарифмов

и включая

число

In

в произвольную

постоянную, получим

окончательно

2

3

=

—

In | х- — 1 |

1п(д;2 +

л.-+ 1)

—

3

.

2х

+

х3

6

arc tg —

^ + с.

— 1

3

з

У

з

Пример

5.

Вычислить

д.-2 4- х — 7

dx.

{х 4- 2)1 0 0

Знаменатель подынтегральной функции имеет один вещественный ко­

рень,

равный — 2, кратности

100.

Следовательно,

если

разлагать дробь на

разложение на простейшие можно получить значительно проще,

разложив

числитель, по степеням х +

2> '(например, по формуле

Тейлора) и

произведя

почленное

деление

на

знамена'тель.

Имеем:

/

(х)=х*+х-7;

f

( - 2)

=

- 5 ;

Г(х)=2х+1;

/ ' ( - 2 ) =

- 3 ;

/"(*)= 2;

/"( - 2) =

2;

f"'{x) =

0.

Г ( — 2 )

=

°-

Таким

образом,

по формуле

Тейлора

Х

2 +

х _ 7

=

_ 5

_

3 ( х +

2) л. (х + 2)2,

(**)

следовательно,

х2+х

— 7

,3

3

, 1

(х 4-

2)1 0 0

(х

4-

2)1

(*4-2)»в

(л-4-2)°8

Теперь

вычисляем интеграл

f x 2

— х — 7 ,

5

1

, 3

I

I

1

\

dx =

— +

С.

J

(х + 2 ) 1 0 0

99

(А.- + 2 ) 0

0

98 (,v--|-2)»s

97

(х +

2 ) 0 7

З а м е ч а н и е .

Равенство

(**)

можно

получить

также

путем

следую­

щих

тождественных

преобразований:

х 2 +

х — 7 = [(х +

2)

— 2 ] 2 +

[(х + 2)

— 2 ] — 7 =

= (х + 2 ) 2 - 4 (х + 2) + 4 + (х + 2) - 2 - 7 =

=

(х + 2 ) 2 —-3 (х +

2) -

5.Д.

5.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ

ВЫРАЖЕНИЙ

ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

Под рациональным

выражением от тригонометрических

функ­

виде R (sin х, cos х, tg х,

ctgx, sec х, cosec х).

Не умаляя общности, можно ограничиться рассмотрением ра­

циональных выражений

от sin х и cos х, т. е. выражений вида

R (sin х, cos х), так как все другие

тригонометрические функции

рационально выражаются

через sin х и cos х:

4 . „

sinx

,

.

cos х

,

secx =

1

,

cosecx =

1

tgx =

ctgx = —

sinx

sinx

C 0 S A :

и рациональная функция от рациональных функций других

аргу­

ментов есть рациональная функция этих аргументов.

Общий метод вычисления

интегралов

вида

]" R (sin х, cos х) dx

состоит в

рационализации

подынтегрального

выражения, т. е. в

приведении его к рациональному

выражению

относительно

одной

переменной. Это достигается

при помощи

подстановки

• • ' - * e f .

позволяющей выразить

sin х,

cos х

к dx

рационально

через

пере­

менную t.

Действительно, так как

cos''2 —х . = •

1

1

2

1 +

t g 2 ^ -

ТО

sin л: = 2 sin —cos — = 2cos2 — t g —

2t

2

2

2

2

1 +

/ 2

cos x = cos2

sin2

— = cos2

— 11 — t g 2 — I =

+ 1 2

TO

2 ;

l

Далее,

из равенства

dt =

9

!

А".

dx = — (1 + Г-) dx

о

2

2

COS

^

находим

dx=-2—dt.

I 4- С2

Таким

образом получаем

Г Л (sin х, cos х) dx =

f Я [

,

—^— dz1 = Г Я х (О Л ,

где

(t)

— рациональная функция

переменной t.

Итак, всякое рациональное выражение от тригонометрических

функции

интегрируется

в конечном

виде. Подстановка t = ig~

dx

l 4- Г-

dt

I—sin.v

+ cos A-

I

,

2t

, 1— t2

1

1— t

•t2

1 +

t-

=

— \n\\—t\4-C

=

—\n

- i s

— 4 - C .

Подстановка

tg-^-=t

часто

приводит

к

интегралам от гро­

. п

t2

о

1

j

dt

sin^x =

, cos*x =

, dx=

1 + 1 2

l + t 2

1 + 1 2