Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Заметим, что выбор параметра t в представлении функциональ­ ной зависимости (1.46) в параметрической форме (1.45) неоднозна­ чен, поэтому одну и ту же функциональную зависимость можно записать с помощью бесконечного множества параметрических уравнений.

1.22.ПРИМЕРЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ КРИВЫХ

Окружность. Рассмотрим окружность радиуса R с центром в на­

точки М с осью Ох. Тогда будет х = R cos t, у — R sin t. Эти ра­ венства выражают координаты произвольной точки рассматривае­ мой окружности через выбранный параметр t, поэтому это и есть параметрические уравнения этой окружности. Исключая из этих

и sin t — периодические с периодом 2я; поэтому кривая, выражен­ ная данными уравнениями, замкнута, причем полная кривая опи­ сывается при изменении параметра t вдоль любого интервала длины 2п, и в частности от 0 до 2п. Исключаем из данных уравнений па­

нения являются параметрическими уравнениями гиперболы. Тер­ мин г и п е р б о л и ч е с к и е в наименовании функций sh t и ch t как раз и объясняется тем фактом, что эти функции входят в пара­ метрические уравнения гиперболы.

Циклоида. Составим параметрические уравнения циклоиды — кривой, описываемой любой точкой окружности, катящейся без

26

проходящую через начало координат. Пусть М (х, у) — произ­ вольная точка этой циклоиды. Взяв за параметр t угол поворота окружности и считая, что в начальный момент качения окружность касалась оси Ох в начале координат, будем иметь

х = OP = OQ — MN = MQ — MN = at — a sin t

(OQ = MQ, так как окружность катится без скольжения);

у = рм = QC — NC = а — a cos t.

Итак, параметрические уравнения циклоиды будут

х — a (t — sin t), у = а (1 — cos t).

Первая полная арка циклоиды описывается за первый полный оборот окружности, т. е. при изменении параметра t от 0 до 2я.

1.23. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть функциональная зависимость у от х задана параметри­ ческими уравнениями

27

Если у является функцией от х, то это уравнение определяет н е - я в н у ю ф у н к ц и ю (там же, стр. 135). Ясно, что уравнение (1.49) будет определять у как неявную функцию от х только в том случае, если существуют удовлетворяющие ему значения хну.

28

Неявная функция у может быть однозначной или многозначной в зависимости от того, сколько значений у совместно с каждым рас­ сматриваемым х удовлетворяет этому уравнению. Если же не су­ ществует значений х и у, удовлетворяющих уравнению (1.49), то это уравнение никакой функции не определяет. Так, например, ясно, что уравнение xz + у2 = — 1 не определяет неявной функ­ ции, так как ему не удовлетворяет ни одна пара действительных значений х и у.

Условия однозначности и дифференцируемое™ неявной функ­ ции у, определяемой уравнением (1.49), будут сформулированы в третьей части курса; там же будет получена и общая формула для производной от этой функции. Здесь приведем следующее практи­

В связи с этим заметим, что дифференцировать равенство можно лишь в том случае, если оно является тождеством. Считая в урав­ нении (1.49) у функцией от х, определяемой этим уравнением, мы превращаем это уравнение в тождество.

нение легко решается относительно у; в результате находим две дифферен­

Для отыскания старших производных от неявной функции у, определяемой уравнением (1.49), надо соответствующее число раз продифференцировать обе его части, всякий раз помня, что у и все ее производные являются функциями от х.

29-