Файл: Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие.pdf

П р и

« г < 0

эта

составляющая будет затухать

во времени

(рис. 5-2,а),

п р и « j > 0

— нарастать

( б ) ,

а

п р и

с и = 0

полу­

чим н е з а т у х а ю щ и е

к о л е б а н и я

(в)

или

п о с т о я н н у ю

состав­

л я ю щ у ю

(если

р\- = 0).

Т а к и м

образом,

исследуемый про ­

цесс состоит из суммы апериодических

или

колебательных

составляющих .

П о н я т н о , если

каждая

составляющая

будет

затухать

(все

а г < 0 ) ,

то ч и

переходная

составляющая

затухнет

со

временем .

О д н а к о ,

если хотя

бы

один

корень

ь

)

Рис. 5-2. Связь

устойчивости с

корнями

характеристического

уравнения

системы

имеет п о л о ж и т е л ь н у ю

действительную

часть,

н о

переходная

составляющая будет нарастать во времени, что

соответст­

вует неустойчивой

системе. П р и

ia2- =

0

система

находится

на

границе

устойчивости.

Если

х а р а к т е р и с т и ч е с к о е

у р а в н е н и е

(5-4)

имеет

поря ­

д о к

N <3,

то

к о р н и

м о ж н о

н а й т и аналитически,

однако

для

Л / > 3

н а х о ж д е н и е к о р н е й

затруднительно . Н а с

выручает

тот

факт, что

для

исследования

устойчивости

надо

знать

н е

сами корни,

а лишь

з н а к и

действительных

частей и

д а ж е

м е н е е того — все л и к о р н и

л е ж а т

слева от м н и м о й

оси и л и

есть хотя

бы

один

справа.

П р а в и л а ,

п о з в о л я ю щ и е

ответить

на

этот

вопрос,

н е

находя

с а м и х

корней,

называются

критериями

устойчивости.

П о с л е д н и е

могут

быть

алгебраи­

ческими

( с у ж д е н и е

об

устойчивости

выносится

по

рассмот­

р е н и ю характеристического

у р а в н е н и я )

и

частотными

(об

устойчивости

судят

по

частотным

х а р а к т е р и с т и к а м

системы) . П р е ж д е

чем

рассмотреть к р и т е р и и устойчивости,

обратим

в н и м а н и е

на

вид

характеристического

у р а в н е н и я

(5-4): правая

часть

его совпадает

со

знаменателем

переда-

cn=a.N

J

c 2 i=aiv - 2

c 3 i = a w - 4

Cl2 =

dN-\

C22 =

QiV-3

C32 — 0-N-5

Аз =

Сц -Cl2

1

Cl3 = C2 l— I3C22

C23=pC31 —X3C32 C3 3 =

C41 —Я,зС42

С24 =

С32 — Л4С33

C34 =

C42 — Я4С43 | ...

• •

•

. . .

1

. . .

]

. . .

1...

правил о

построени я

к о т о р о й

очевидно

из

примера .

К о э ф ­

ф и ц и е н т а м

с

отрицательными

индексами

соответствуют

нули .

Для

устойчивости

системы

необходимо

и

достаточно,

чтобы

коэффициенты

первого

столбца

таблицы

Рауса

были

положительны

c i „ > 0 ,

п=1,

izV.

(5-Ю)

Если

система

неустойчива,

то

число

перемен

знаков

в

первом

столбце

равно

числу

правых

корней

характеристи­

ческого

уравнения.

К р и т е р и й

Рауса — Г у р в и ц а

у д о б е н

для

определени я

предельных значени й параметров С А Р , п р и

которы х

систе ­

ма находится на г р а н и ц е устойчивости .

Э т и значения

нахо ­

дятся л и б о

из

условий

А „ = 0 ,

л и б о c i „ = 0 .

Заметим ,

что в

(5-9)

Ajv=ao!Aiv-i,

п о э т о м у

при

Ajy = 0

система

находится

л и б о

н а

г р а н и ц е

апериодической

устойчивости

( а о = 0 ) ,

когда оди н

из

к о р ­

н е й

характеристического у р а в н е н и я

раве н

н у л ю ,

л и б о

на

г р а н и ц е

колебательно й

устойчивост и

(AN-I = 0),

когда

два

с о п р я ж е н н ы х

корня

находятся

н а м н и м о й

оси.

П р и м е р

5-1

|[1]. Рассмотри м

условия

устойчивости

стати­

ческой

С А Р скорост и

двигателя .

П е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я

р а з о м к н у т о й

системы

равна

(1 + РП) (1 + Р Г 2 ) (1 + р Г з ) '

где

к=1гэму

'ku-krr—

статический

к о э ф ф и ц и е н т

усиления .

Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е

у р а в н е н и е

(5-8) з а м к н у т о й

системы

в данно м случае

имеет

вид

а 3 р 3

+ а2р2

+ а\р

+ ю о = 0 ,

аде

а з = Т 1

Г 2

7 ,

з ,

a2=TxT2

+ TxTz

+ T2Tz,

ах =

Тх

+

Т2+Тг,

а о = 1 + & .

О п р е д е л и т е л и

Гурвица

равны

Д, =

а 2 > 0 ,

Д 2 = а , а 2

- а 0 а 3

=

(Тх + Т2

+ Т3)

(Тх

Т2 + TiТ3

+ Т2Т3)

-

-{\+k)TxT2T3,

Д з = о д Д 2 -

Н а й д е м предельный

к о э ф ф и ц и е н т

k. И з

условия

Д г = 0

получаем

предельное

з н а ч е н и е

k,

п р и котором система

н а х о д и т с я ' н а

г р а н и ц е

к о л е б а т е л ь н о й

устойчивости,'

npi

Т1Т2Т,

= ( ! + ' . +

т.) (1

+

т Г 1

+

т3 -! ) -

1,

•

(5-11)

где х2=Т2Тг\

Т з ^ Г з Г г " .

И з

условия

Л з = 0 ,

т. е.

а о = 0

находим

другое

предель­

н о е з н а ч е н и е

knp2—

— 1

( о т р и ц а т е л ь н о е

£

соответствует

п о л о ж и т е л ь н о й

о б р а т н о й

связи), п р и которо м система

находится

на

г р а н и ц е

апериодической

устойчивости .

Ана ­

л и з и р у я п о л у ч е н н ы й

результат,

приходи м

,к

выводу,

что

С А Р

устойчива

п р и & n p2 < & < ^ n p i -

'

И з

(5-11)

следует,

что

предельный к о э ф ф и ц и е н т

усиле ­

н и я системы определяется

лишь

с о о т н о ш е н и е м

постоянньйс

времени . З а м е т и м ,

что п р и

Т\ =

Т2

— Т3

получаем

минималь ­

н о е з н а ч е н и е

&лрмин =

8.

Н а п р а к т и к е

стремятся

получить

системы

с

весьма

боль­

ш и м и предельными

к о э ф ф и ц и е н т а м и

усиления .

Э т о

объяс­

няется

ж е л а н и е м

иметь

у

системы

большо й

к о э ф ф и ц и е н т

усиления, что приводит, как увидим

далее,

к п о в ы ш е н и ю

точности

регулирования .

П о с к о л ь к у

увеличивать

к о э ф ф и ­

ц и е н т

м о ж н о

только д о

предельного,

то

и

стремятся

увели ­

чить последний . Д л я

такого

увеличения,

как

следует

из

(5-11),

н у ж н о

«раздвигать»

п о с т о я н н ы е

времени .

Н а п р и м е р ,

п р и

Ti =

T2=№0

Т3

получае м

&цР 1>200.

О д н а к о

этот

путь

практическ и

нереален .

Д е л о

в

том,

что

п р и

конструирова ­

н и и а п п а р а т у р ы

стремятся

уменьшить п о с т о я н н ы е

времени,

и поэтом у и х дальнейшее

у м е н ь ш е н и е

почти

н е в о з м о ж н о .

Вполне

в о з м о ж н о

увеличить

п о с т о я н н ы е

времени

(напри ­

мер,

для

увеличения

п о с т о я н н о й

в р е м е н и

двигателя

надо

насадить

на

его

ось

массивный

маховик,

что

приведет

к

у в е л и ч е н и ю

момента

и н е р ц и и

и,

,как.

следует

из

(3-9),

к у в е л и ч е н и ю п о с т о я н н о й

в р е м е н и ) ,

однако

это

приведет

к с н и ж е н и ю

быстродействия

системы,

что

нежелательно .

Н а и б о л е е

о б щ и й

путь

увеличени я

предельного

к о э ф ф и -