Файл: Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие.pdf

ц и е н т а

у с и л е н и я

состоит

в и з м е н е н и и структурной-

схемы

С А Р ( к о р р е к ц и и )

путем

введения

д о п о л н и т е л ь н ы х

звеньев

и контуров . Э т о т

путь

будет рассмотрен

далее в гл. 7.

§

5-4. К р и т е р и й

Н а й к в и с т а . З а п а с

устойчивости

Э т о т

критерий,

п о з в о л я ю щ и й

судить

об

устойчивости

С А Р

п о

частотным

х а р а к т е р и с т и к а м разомкнутой

системы

(амплитудно - фазовой

и л и л о г а р и ф м и ч е с к и м ) ,

нашел

н а и ­

большее

распространение, поскольку позволяет использо ­

вать

не

только аналитически п о с т р о е н н ы е

частотные

харак ­

теристики,

н о

и н а й д е н н ы е

экспериментально.

К р и т е р и й

был

п р е д л о ж е н

Н а й к в и с т о м

в

1932

г.

для

анализа

э л е к т р о н н ы х

у с и л и т е л е й

с

о б р а т н о й

связью.

В 1938

г. был

о б о б щ е н

и

п р и м е н е н А.

В. М и х а й л о в ы м

для

анализа С А Р .

Пусть

передаточная

ф у н к ц и я р а з о м к н у т о й

системы

Wp(jo) —

^ ^

, причем

из

ф и з и ч е с к и х

с о о б р а ж е н и й

следует,

D

(р)

что

степень

М

п о л и н о м а К(р)

не выше

степени

N

п о л и н о м а

D(p). О б р а з у е м

ф у н к ц и ю

Н а й к в и с т а

'

NU*)

=

l +

Wl,V*)=K№

+ I>U*)

•

(5-12)

U (ум)

и рассмотрим

и з м е н е н и е

ее

аргумента

при

и з м е н е н и и

со от

О до

оо

,

к о т о р о е

о б о з н а ч и м

Aargj\f(/a>).

О б р а т и м

внимание,

что

D(p)

является

х а р а к т е р и с т и ч е с к и м

п о л и н о м о м

разомк ­

нутой системы, а К(р) +D(p)

— х а р а к т е р и с т и ч е с к и м

поли ­

номом з а м к н у т о й системы, п р и этом степени

о б о и х

харак ­

теристических

полиномов

р а в н ы

N.

Рассмотрим

т р и в о з м о ж н ы х

случая,

когда

р а з о м к н у т а я

, система

устойчива,

неустойчива

и нейтральна .

1-й

случай

— система

в

разомкнутом

состоянии

устой­

чива.

Будет

ли

о н а

устойчива

п р и з а м ы к а н и и

и

при

к а к и х

условиях?

D(ja)

Рассмотрим

и з м е н е н и е

аргумента

ф у н к ц и й

и

+ £ >(/©) .

П о л и н о м D(p)

м о ж н о

представить

в

виде

N

N

D (Р)

=

J] апрп

= aN

\~[ (р

-

р,),

где р\,

pN

п=0

/«.1

— к о р н и

характеристического

у р а в н е н и я

D(p)=0.

Т о г д а

N

tf

D (/оо) =

aif Y\ {1®—Рд

и Д arg

D (/со) = Щ ? Д arg

(/со —

p,).

Рассмотрим

геометрическое

представление

комплексного

числа

(ja—pi)

в

виде

вектора

п р и ф и к с и р о в а н н о м

значе ­

н и и со

(рис. 5-3).

Н а ч а л о вектора (/со—pi) л е ж и т

в точке

Рис.

5-3.

К

выводу

критерия

Най-

квиста

I

pi, а

к о н е ц — н а

м н и м о й

оси

в точке

/со. П о э т о м у

п р и

с о = 0

к о н е ц вектора

л е ж и т в

начале

координат, а

п р и

со -> ао — в бесконечно

далекой

точк е на

м н и м о й оси.

П р и

и з м е н е н и и

,со от 0 до

со

вектор

(/со—pi)

повернется в

п о л о ж и т е л ь н о м

н а п р а в л е н и и

на

у г о л

+<р*,

а

вектор

(/со—pi+i)

— на

у г о л

+ ф г + ь Очевидно ,

что

срч-,+ ср,ч-1=я.

Т а к и м образом,

один

левый

корень

дает

и з м е н е н и е

аргу­

мента ф у н к ц и и

ьО (/СО)

на п/2,

а пар а к о м п л е к с н о - с о п р я ж е н ­

н ы х л е в ы х

к о р н е й — н а

я . Вследствие

этого

Д arg D (/со) =

JV • я/2,

поскольку

р а з о м к н у т а я

система

устойчива

(все

к о р н и

D (р) — л е в ы е ) .

Если

потребовать,

чтобы и замкнутая система была

устойчива (чтобы все к о р н и

К(р)

+£>(р) =

0

были л е в ы м и ) ,

необходимо, рассуждая

аналогично,

Н о в

этом

случае

и з м е н е н и е

аргумента

ф у н к ц и и

Н а й к в и с т а

AaxgN(fa)

=AargfiD(/(o) +7C(/cu)]-Aarg£>(/co) = 0 .

(5-13)

П о с к о л ь к у

ф у н к ц и я

Н а й к в и с т а — это

А Ф Х р а з о м к н у т о й

системы, с м е щ е н н а я вправо на единицу,

то

м о ж н о

рассмат­

ривать

и з м е н е н и е

аргумента

не ф у н к ц и и

Н а й к в и с т а

относительно

начала

координат,

а и з м е н е н и е

аргумента

( ф а з у ) А Ф Х

относительно

точки

( — 1 ,

/0) .

П о э т о м у

усло ­

вие

устойчивости

(5-13)

м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь

так:

замкнутая

система

устойчива,

если

АФХ

разомкнутой

системы

не

охватывает

точку

(—1,

J0).

П р и м е р

5-2. О п р е д е л и м

предельный

к о э ф ф и ц и е н т

С А Р ,

р а с с м о т р е н н о й в

п р и м е р е

5-1. А м п л и т у д н о - ф а з о в ы е

харак ­

т е р и с т и к и

д а н н о й

системы

п р и р а з н ы х

значениях

k

пока ­

заны

на

рис .

5-4.

Согласно

к р и т е р и ю

Н а й к в и с т а

п р и k\

С А Р у с т о й ч и в а , ' а

п р и k2

— неустойчива

( и з м е н е н и е

аргу­

мента W7po(/co) относительно точки

( — 1,

/0)

р а в н о

я ) .

Если

k—knp, то

А Ф Х п р о х о д и т

через точку

( — 1,

/0), т.

е.

lmWp(]'a„)

— Im

/сол 7\) (1 +

/шя Гв) (1 4-

/ш я 7\)

(1 +

R e W p ( / c o « ) =

- l .

Решая

эти

.уравнения

относительно

&лр и (оп

(частота,

на к о т о р о й

ф а з о в ы й

сдвиг

равен — л ) ,

получаем

7-291

97

(fx

+

f 2 +

ta) (f i

f a

+

Tit3

+

fits)

i

,

-

что совпадает

с

п о л у ч е н н ы м р а н е е

в ы р а ж е н и е м

(5-11).

2-й

случай

— система

в разомкнутом

состоянии

неустой­

чива.

Если

система

н е у с т о й ч и в а

в р а з о м к н у т о м

состоянии

(это

м о ж е т

случиться

п р и р а с с м о т р е н и и

м н о г о к о н т у р н ы х

систем и л и

о д н о к о н т у р н ы х

с

неустойчивыми

звеньями),

то ее

х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е

D(p)—0

имеет

правые

корни . Если

обозначить

и х число

га,

то

lAarg £>(/©) == (N—m)

л/2—mn/2,

поскольку

к а ж д ы й

п р а в ы й корень

дает

о т р и ц а т е л ь н о е

изме­

н е н и е аргумента

. ( % + % + ! = — я )

(см. рис .

5-3).

П о т р е б у е м ,

чтобы

замкнутая

система

была

устойчива,

тогда

необходимо,

чтобы

lAargfD (;<•>)

+K(j®)]=N-л/2.

Н о в э т о м

случае

AargA/(/co) =2m-n/2—

2л.

(5-14)

Т а к и м

образом,

замкнутая

система

устойчива,

если

АФХ

разомкнутой

системы

охватывает

т/2

раз

в

положительном

направлении

точку

(—1,

]'0).

Э т а ф о р м у л и р о в к а

о б о б щ а е т

ф о р м у л и р о в к у

первого

случая

для лг —

0.

П р и м е р 5-3.

Н а

рис . 5-5

п о к а з а н а

А Ф Х

р а з о м к н у т о й

системы,

и м е ю щ е й

k

{pTi -

1) (рП

+

1)