Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Оно имеет, по крайней

мере,

один

действительный

отрица­

тельный корень. Введем обозначения для корней

s x =

— X2; s2 =

p.2; S g = v 2 .

(1 . 196)

Теперь

Р-2 +

ѵ

l +

km

9 о

1. 197)

ц.2, ѵ2

Х2/г»

и

дл я определения

корней

имеем

квадратное

уравнениее

1 + Щ 2

- = 0 .

(1. 198)

Если учесть, что

1

(1.199)

!

=

Х* 1 + /гХ2

то

по (1.198)

2/с»

L

У

1 +

£ Х 2 (1 +

8) +

*2&Х4

(1.200)

ѵ2 =

1

,

/

1 +

2(1

— 39) +

№\4

№ (

I

/

1 +

kl2 (! +

») +

/г2»Х4

Таким

образом

и здесь

корень

X можно

принять

в

качестве

искомого

параметра, причем

его по-прежнему

можно

трактовать

как коэффициент приведения длины, так как круговую

частоту

можно определить

формулой

£>я4

Ш я 2

\ Л

,

/;2я2

(1.201)

ß/5

Д

К

+

где /о — приведенная длина

стержня,

р а в н а я

1.202)

Согласно (1. 181) при : #<0,25,

ц . 2 >0,

ѵ 2 > 0 поэтому

общее

решение

уравнения (1 . 173)

можно

записать

в

форме

X (6) =

Л . і Ц М . + Л

cos XI +

А,

+

+

Д,спѵ6 + А , - ^ _ +

Л 4 с М .

(1.203)

F - > — -

, л-'2

-

>оо,

( 1. 204)

ческой прямолинейной формой.

Пусть 5 натуральный параметр нейтральной

линии

изогнуто­

го стержня, отстоящей на расстоянии

Л/2 сі 3 от

средней

линии

заполнителя, тогда уравнения

изгиба

стержня

будут

(1.60) —

(1.61)

ds

(1.205)

d?M

— W =

N

Q.

ds?

ds?

П р е д п о л а г а я деформации стержня

малыми,

согласно

(1.47)

имеем

H =

Dy

da

•%

dx

Af =

Ö '

da

(1.206)

dx

*

У

Q3 = Qhby.

j

Здесь у . — кривизна

стержня, вычисленная по точной

формуле

(ß'Sl

(1.207)

Из уравнения, связывающего H и Q3 ,

имеем

1 — а Ш

_

_

hЬР-

d'd°-

\

dt.

_

, ^

2

а.

; 1.208)

ß

ß

ds

~

ds2

J

Это

уравнение будет

тождественно

удовлетворено,

если поло­

жить

ß

ds2

W

(1.209)

1 — ft h2

rf'F

V

ß

Отсюда

1 _

ß

ds2

ds2

(1.210)

ds )

теперь дл я полного момента

M имеем (выражение через Ѵ Р

M =

D(\

вЛ2

d

W.

(1.211)

ß

ds2

Используя

второе

уравнение

равновесия

(1.206),

получим

уравнение, с в я з ы в а ю щ е е ХУ и w,

O

l

%h2

jß\

йГ21І.

• N

—

w =

0.

(1.212)

ß

ds2/

ds2

ds2

Применяя к этому уравнению оператор

|^1 —

h2

^ d22

и

исполь-

зуя

(1.211), приходим

к нелинейному

уравнению

относительно w

d2w

ds2

1 +

ß

ds2Jds2

•N

1

Л2

d2 \

d2W

,0

(1.213)

ß rf«2 y dS2

или,

р а з л а г а я

обратную

величину

радикал а

в степенной

ряд, по­

лучим его в форме

л м _ 1*1 —\

I

D2W

ß

ds2)

ds2

1

ds2

'

V

P

rfs2/

rfS2

(1.214)

гѵ (s) = f

sin ~

,

(1.215)

и для

отыскания

постоянного

параметра

/ используем

метод

Бубнова. Как известно, метод

Бубнова

решения дифференци­

альных

уравнений

состоит в том, что искомая функция

аппрок­

раметрами, которые определяются из требования

ортогонально­

сти результата подстановки этого ряда

в уравнение

к

каждой

из координатных функций.

При этом получается ровно столько алгебраических уравне­

ний, сколько

было у д е р ж а н о

членов

ряда, т. е. столько,

сколько

изменяется неизвестных

параметров .

Ограничиваясь в уравнении (1.214) одним нелинейным чле­

ном, после подстановки

в ы р а ж е н и я

дл я ад в форме

(1.215) най­

дем

Ü — /

(1 -г — fA(\4-kH)

sin Ü£- + £> — —

/ 3

Х

X ( l + 9 Ä Ö ) s i n - ^ p - J V / - ^ - ( l + Ä ) s i n - j -

=

/ r .

(1.216)

Здесь

/г = я 2 Л 2 / § / 2 .

Вычисляя

интеграл

1

^ F sin -у- ds =

0,

найдем

о

^ (

l + ^ / j

a

+ W - A 4 1 + * ) / =

0.

(1.217)

Вводя Эйлерову критическую

силу

I2

\ + к

запишем (1.217) в форме

Л'

= ( l + ~ f 2

) '

(1.218)

отсюда

/ = = 2 J Ç L

I / 2

L -

I .

(1.219)

•кр

Ф о р м у ла (1.219) по

форме

совпадает

с

соответствующей

формулой

теории

однородных

стержней,

однако

следует

иметь

в виду, что УѴцр зависит

от /г и

т. е. от

сдвига

заполнителя и

структуры

стержня . Эта

формула

дает для

однородных

стерж­

ней

достаточно

точные

результаты вплоть

до

/ = 0,2

/,

т. е. до

значения силы N=

1,045

NKÏ>.

Г л а в а

2

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ ТОНКИХ

УПРУГИХ ПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК

ПРИ КОНЕЧНЫХ

ПРОГИБАХ

В этой

главе

вариационным методом

получены

основные

дифференциальные

уравнения

конечного

прогиба тонких

упру­

гих

пологих

трехслойных

оболочек

несимметричной

структуры,

состоящих

из

изотропных

несу­

щих

слоев

и трансверсалы-ю

изо­

тропного заполнителя .

В дальней­

шем

на основе

нелинейных

урав ­

нений

введены

линейные

уравне­

ния

местной

потери

устойчиво­

сти.

При

построении

уравнений

для

несущих

слоев

используются

гипотезы

Кирхгоффа — Л я в э

о

прямой

нормали,

дл я

заполни­

теля — гипотеза о несжимаемости

материала 'в

поперечном

направ ­

лении,

il предполагается,

что де­

ф о р м а ц и я

поперечного

сдвига

по

толщине

заполнителя

распреде­

лена

по

некоторому известному

закону. Кроме того, д л я всех

трех

слоев принят общий

приведенный

коэффициент

Пуассона

ѵ. Теория,

Рис. 9. Малый элемент трехслой­

не с о д е р ж а щ а я

последнего

допу­

ной оболочки

произвольного

вида:

щения,

при

предпосылках,

ука­

/—первый

слой;

2—второй слои;

3—тре­

занных выше, изложена в работах

тий

слой

(заполнитель)

[12,

13,

14].

Будем считать оболочку пологой, различием радиусов кри­

визны

слоев

пренебрегаем. П р и н и м а я за

исходную

срединную

лочки, к декартовой системе координат хи

х2.

Положительную

нормальную

координату z

будем отсчитывать в сторону внешней

нормали

к исходной поверхности. Н а з ы в а я

несущий

слой,

рас­

положенный со стороны внешней нормали,

первым

слоем,

слой

со стороны

внутренней

н о р м а л и — в т о р ы м ,

а заполнитель —

третьим

(рис. 9), введем

обозначения: