Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

чину. Д л я линейных упругих

систем

оба указанных ограничения

излишни: первое—вследствие

независимости действия

сил, вто­

р о е — из-за линейности выражения

виртуальной работы

относи­

тельных

перемещений

могут быть

приняты вызванные произ­

вольной

нагрузкой

действительные

перемещения,

отсчитывае­

мые от положения

системы в недеформированном состоянии си­

стемы. Такой принцип

возможных

перемещений

называется

А==~І

i f f £ - M

i S - + b a

) d x '

(

1 - 1 4 7 )

то имеем

равенство

о

~PU

+ A = Q.

(1.148)

Вводя в в ы р а ж е н и е дл я А вместо момента Й момент S,

запи ­

шем предыдущее равенство в форме

I

pD = P(J=~

j "

MM +

SS - f l l 2

°o~

& ) Q 3 Q 3 "

dx.

(1 . 149)

0

Интеграл Мора

в форме

(1. 149) неудобен, так как

необходи­

мо иметь 5 и Q 3 для обоих

состояний.

Приведем

его к

более

удобному виду. Интегрируя по частям и используя

уравнение

равновесия, представим работу

внутренних

сил так:

I

Л = - / ? а | 5 + | ' M-j^-dx.

(1.150)

Используя

д а л е е равенство

6

— Y = - — - + Y — -

1.151

dx*-

D

dx

и проводя

в (1 . 150)

еще одно

интегрирование по частям, имеем

I

і 4

=

- 7 а

5

|

о — +

(1.152)

о

П р и

отсутствии

торцевой д и а ф р а г м ы

( S = 0 )

или при

наличии

д и а ф р а г м ы бесконечной

жесткости

(сс = 0)

неинтегральное

сла­

гаемое

в (1.152)

исчезает,

,в

результате

вместо

(1.149)

имеем

равенство

(1.153)

о

Преимущество

этой

формулы

по

сравнению

с

формулой

(1.149)

состоит

в том, что угол сдвига

а

необходимо

вычислять

только дл я одного случая

загружения .

Значение

угла

сдвига

м о ж н о

определить, интегрируя

уравнение совместности

моментов

П2\

1

(1 .

154)

dx2

i2 j

у

/2

Ѵ

1

с учетом соотношений

1 — а р-

d i x

г,

va =

•

( — H

(1.155)

Db

n2

dx

\

Y

n2

dx2

V У

I

где, как и ранее,

ß/2

Р а з р е ш а я

уравнение

(1.154),

находим

в ы р а ж е н и я

для

•ya(x) и Sx через их начальные

значения

Y a ( J C ) = Y a 0 c h ^ + - ^ ^ - ( 5 0

+ A f 0 ) s h ^ ~

і —а

ch

M(x0)dx0;

да

S(x)=ya0^JLsh!l£.+iSQ

+

M0)ch'f

-М{х)-

sh

"(*-•*(>)-

M(x0)dx0;

\

(1.156)

- L / / ( J C ) = Y a 0 / 1 ^ s h

f

+

(M0+S0)chf-

~ f \ s h

П І Х ~ і Х 0 )

M

№ »

P U = P U :

И

ММ •

QQ)dx

; i . 157)

а (х)~-

(1.158)

мещений такова

же, как и для однородных стержней.

Силовой фактор соответствует перемещению, если в процессе

деформации стержня он совершает работу на данном

перемеще­

нии. Н о р м а л ь н а я

сосредоточенная сила совершает

работу на

нии прогиба

считаем, что M и Q возникают от действия

нормаль ­

ной единичной сосредоточенной силы. Сосредоточенный

момент

совершает

работу

на обобщенном

перемещении

о = у а —

dx

а в случае

Ф = 0 и \ = 1 — на перемещении

-ф. Рассмотрим

этот

вопрос подробнее. Пусть в сечении

х = а

приложен

единичный

сосредоточенный

момент, тогда при е—-О

<р(а-\-г)

— <о {а, — s) =

0;

[М(а)\

= М(а + ъ)-М(а

— ъ)=Ь,

(1.159)

Q = const.

Р а з б и в а я

интервал

интегрирования

О ^ . ѵ ^ /

на

два подын­

т е р в а л а

0^.х<а

и а<х^1

и учитывая

зависимости

M =

D-^-;

Q =

D-

(1.

160).

dx

dx*

з а п и ш ем интеграл

(1 . 153) в ф о р м е

J

=

DJLL

ÉL)-D(û^L

+

yaQ dx •

4.

dx

у

dx I

'

dx2

+

D f [ ^ ) - D ^ ^ y a Q \ d x -

dx

\

dx J

dx2

=

—[M {a)] cp (a) + M (/) cp (/) -

M (0) ?(0) +

Î Q —

dx

V

dx

ванный сосредоточенной

силой

Р, приложенной на этом торце.

В данном

случае

фиктивная

сила

совпадает

с активной

(для

•уа(х)

воспользуемся

(1. 144)].

М{х)

=

р{х

— 1);

уа

(х)

=

— ch

\-т il sh

(1.162)

D

8л 2

M{x)=x—l\

Q{x)=L

Используя

интеграл

(1. 153), имеем

I

I

w{l)

= —

Г L Ï

- / )

2

^

+ —

—

\

Г1 — ch —

- f t h / i s h —

\dx=

û

J 1

'

~

D

H

/

I I

что

совпадает с ранее вычисленным значением прогиба

(1.145).

Н а й д е м теперь

угол

ц>(а) того ж е стержня . Д л я этого в

сечении

х—а

прикладываем

сосредоточенный единичный момент, в ре­

зультате имеем

1

« о = - у Л с і з = \ h [Vi Vi + 'в) - У* (4 + *8 )1.

(1.166)