Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

П о д с т а в л яя найденные значения

6П, оЛі, öA2

в формулу

(2. 22)

и приравнивая нулю в ы р а ж е н и я , стоящие

перед в а р и а ц и я м и

независимых перемещений,

получим

уравнения

равновесия и

естественные граничные условия задачи .

Уравнения равновесия записываются в виде

М11л

+

М І І Л

= - Р і

і

(2.34)

НиЛ+НІІа=<№

(2.35)

MUtll + 2УИ1 2 ,1 2

+ УИ2 2 ,2 2

- Nn

(ku +

х . п )

-

— 27V 1 2 (/è 1 2 - fx 1 2 ) — І Ѵ а 2 ( £ 2 2

+ -/І В )-т -? — рхш)л—

p2wt2=Q.

(2. 36)

л ri

Eh

_ ( 1 - ѵ ) (еи +

с( + аи-

Л-i +

h3

Ч

1 _ Ѵ 2 Г 1

4,) +

+ v b J e k k + ct+akk

+ A ^ i L , k k

N 2 =

_ l L y

( 1 - ѵ ) ( ^ - С

^ - ^ ± ^ з _ ѵ ,

(2. 37)

U

1 _ V 2 Г

2

Ло — Ая

ftft

'•Aft

1 _ ѵ 2 Ys К1 -

v ) (fy + с Х

а / / ) + ^ / / ( е й й +

cXaf t Ä )].

Суммируя подученные удельные усилия, найдем

Eh

Ф о р м у л а

(2. 38) упрощается, если

положить

и, =

« ; 0

+ - і - А С ,

'

(2.40)

я потребовать выполнения равенства

£ І = С І З Ш , , — С і 2 < х , \

(2.41)

Тогда выражение

(2. 38) принимает вид

г д е

=4-

(я°

; +

+ w « w - i +

(2-

4 3 )

Используя

(2.41), имеем равенство

^

= Y ^ ' - - ' " ' " < * ^ =

~ с м а < 7 ~ сіз*/у.

(2- 44)

а з которого

найдем

F

/>2

; ^ î y = ^ Y i + 2 - ^ 3 ^ Y i l(cn-c12)

RI - V ) a/ y

+

5 / y v a J - f

+

-

с із) К1 -

V) -'-,7 + 5,7-vv.J} ;

(2. 45)

^

=

Y

-

F

/;2

y2

{(c'n + с и ) [( 1 -

V) a,7

+

8 „ v a M ]

+

2

+ K 3 +

^з) [( 1 -

V) y-ij + 8 / / V x J

) ;

(2.46)

^

=

^ Ѵ з - 9 -

T

^ Ys ( ( c u

-

Щ [( 1 -

V) a,7 + v8,/ ( xf t ê ]

+

+

с 1 8 [ ( 1 - ѵ ) - / , у + ѵ8 ; 7 ч й й ]] .

(2.47)

З д е с ь

cn~^+>

с\п — ^4—> с і з = = А . _ М з '

. ^із ~4 т"^з -

(2.48)

Вычислим

д а л е е

момент

Нъ...

Используя

формулу (2. 29) и зна­

чения интегралов

(2. 7), получим

+

+ (Va -

З^хз) К1 - V) ѵ,7 + ѵ8г / *J , } .

(2. 49 )

Д л я

удельных изгибающих

моментов

слоев

после вычисле­

ний имеют место

выражения

М\,=

— liN^t,

+

^

5

^

VA [ К -

сгг) [(1 -

V) а Г / 4 -

' Ч ~

2

+

v8/>aJ4-(4-'i +

^ 8 -

с»)

[(1 - v^/y + v S / ^ j ) ;

(2. 50)

Elfi

\А\(С'П

+

СШ) [(l —

v).a,r

i j -

— '«мл** - г 4 ( 1 _

v 2 )

***\

v8/y a«] +

f

+ 4 +

1(1 - v ) x , ; + v 8 v x f

t f t ] \ ;

(2. 51)

у И Ь = ; ^ ^ ^ з 2 [ ( 1 - ѵ ) ^

(2.52)

Обобщенные удельные моменты

п полные

удельные мо ­

менты'.M,-,- согласно

формулам

(2.25) — (2.26)

равны

Elfi

і 2 ( і _ ѵ ^ Г { і 1 і [ [ 1 _ Ѵ ) а ^ " + ѵ 8 / ^ 1

+

+ M ( l - v ) * , y

+ v 8 | . J y M l } ;

(2. 53)

Ми=Л-

liNijCl3+

1 2 ( 1 ^ 3

ѵ 2 )

{Па [(1 - V ) c^ +

vS,/*«]

+

где

+ 1 i 3

К ' І - Ѵ ) - / , 7

+ Л Ѵ ^ Ь

(2.54)

\ = 4 2

ta

+ З у / + +

3Y3 /D -

Зс*2 ;

]

T l a =

^ 2

t a

+ 3Y^+ + 3 Y a ^ )

+

+ 3/3

(YiV+ +

- 3r1 3 c1 2 ;

(2. 55)

• П 3 = 4 ( Y A 2 + y A 2 ) + ^ ( 3 Y l + 3 y 2

+

+ Y 3 ) + 6 ^ ( Y A + Y 2 ^ - 3 r 3

2 .

Тогда

уравнения (2.34)

будут

тождественно

удовлетворены,

если

положить

N

^

t

^ F -

F ^ + ^W.

(2.56)

В ы р а ж а я деформации

е°і}-

через

функцию

напряжений F и по­

тенциал х ¥ и используя

условие

совместности деформаций

е \ 1,22 ~ЬС22,11

^^12,12=

^ І І ^ ,22

2^1 2 W ,1 2

- j -

+

*м® ,11 - Ь ^ д г - W.VPM,

(2- 57)

приходим

к уравнению относительно F(у2 =

д2Q/дх*-j-д2()/дх22)

Ѵ2 Ѵ2 /Г + (1 — v ) v a ï J ' =

= E/i{knw,w

— 2k12wll2^k22w,n-\-w°-n4ü^).

(2. 58)

Рассмотрим д а л е е

уравнения

поперечного

сдвига (2.35).

Д л я этого представим

вектор

(ai, а?) в виде

аі = я,і +

ф,2;

а2 = а,2—ф,і.

(2.59)

Уравнения

(2. 35) запишутся так:

'

-T l1 (Vs <p).a = 0/it

1 (a . 1 + q,i8);

(2.60)

24(1 +

ѵ)

• т і 1 ѵ 2

? = ОАт1«р.

(2.63)

24(1 + v)

V Р /

и Р

1 — V

Л2 Ѵ2ср = ср.

(2.66)

2

ß

• + T D

' 1 - " t ( S - S ) + T ^

Здесь

11ІЗ— 12J

(2. 69)

12(1

_ v 2 )

• л-8 ; & = •

т ,

В дальнейшем ів качестве

основных

параметров

примем

Л з = Ѳ , г\2Ѳ-1=у,

гт;

(2.70)

для т]і и г|2 имеем

в ы р а ж е н и я

1 — а

(2.71)

Рассмотрим

уравнение

равновесия

(2.36). Оно

после

под­

становки

выражений

для

Мц согласно (2. 68) примет вид

° (1 ~

Y у 2

) ѵ

Ѵ *

+ { F ™ + ¥

)

-

- 2 / \ 1 2 (Ам -

таі1а)

+

+

F.и+Ф)

( * ю

-

=

? +

*,«® .а-

(2- 72)

59