Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

то изгибающий

момент

равен

нулю

( М = 0 ) .

В

докрптическом

состоянии

N<NKp

все

слои

претерпевают

одинаковую

продоль­

ную д е ф о р м а ц и ю без изгиба

(у = 0). В послекрнтическом состоя­

нии, когда w=£0,

из (1.68) имеем

в ы р а ж е н и е

для

изгибающего

момента

(&'о — прогиб в начале

координат)

M

(х) =

N

[w

(х)-W0]

=

- D

(

1

-

—

—

)

Ä

.

(1 . 167)

^

1

к J

0 1

\

ß

dx2 I dx2

y

Д и ф ф е р е н ц и р у я

это

уравнение

д в а ж д ы

и

используя

в ы р а ж е н и я

прогиба через

функцию

перемещений,

приходим

к

уравнению

устойчивости в форме

Эйлера

для трехслойного стержня

ч

ß

dx2

)

dx* 1

dx2

\

ß

dx2

I •

вия, о т р а ж а ю щ и е влияние закрепления

торцов (разд.

7).

Перейдем в (1.129) к безразмерной

координате g и

безраз ­

мерной

функции перемещений

X

(/ — длина

стержня)

5 = - і Н _ ;

*

=

J L Z .

(1.169)

Кроме

того, введем безразмерный

параметр

продольной

силы %2

и коэффициент сдвига к

,

NI

. k

=

l ± _ _

( L

m y

Dn2

$1

Теперь уравнение (1. 129)

примет вид

XVi — J—^Lxiv

—Х" = 0.

(1.171)

k%

/г»

V

S (S*— l ~ y M S - ~ ) = 0

(1.172)

S, = — К2,

5 2 = ѵ 2 .

(1.173)

Т о г д а , используя теорему

Виета,

найдем

Г 2= ? 2

Ѵ 2 = = _ І _ 1 ± І ^ 2 _

(1 174),

1 +

kl2 '

kb 1 + k\2

ствительно,

согласно

в ы р а ж е н и я м

для

х 2 и /г по (1. 174)

крити­

ческую силу можем определить

так:

ал2 я2

1 4

/ і 2 Л 2

(1.175)

к р

/„2

(»о2

M

ß/o2

где / 0 = /А-'.

Остается дл я каждог о конкретного

случая опирания

стержня

определить

минимальное значение

А,

соответствующее

нетри­

виальному

решению

уравнения

(1.171).

Х=А:П=ХІГ=0 У=хш=хш-шЩ

Х-кХп=Х!=Хш=0

х=х"=х^о

Х-кХЧ'=Хш=0

Х-кХп=Х'=Хш=0\Х-кХ=Х=Х=0 Х-кх'^Х'-Ш^Х^О

05

1,Щ1-0,1К)

Рис. 8. Критическая сила NKp

продольного сжатого стержня при пяти видах

краевых условий

на концах стержня ( | = 0

и | = з т )

З а п и ш е м

общее решение уравнения ( I . 171)

в

форме

X

(й =

А, ^

+ Ал cos Х£ 4- Л 3 -

^ І

+

Л

V

+

Л 4

с п ѵ 5 + Л 6 е + Д І .

(1.176)

Удовлетворяя

однородным

краевым условиям

при

£ = 0 и | = я ,

приходим сначала

к однородной системе линейных

уравнений

торой требуем д а л е е

равенства нулю ее определителя, в

резуль­

тате получаем трансцендентное уравнение относительно

пара ­

метра А[ѵ2 и у? через

X2 в ы р а ж а ю т с я посредством (1.174)].

Мини­

мальное значение А будет соответствовать критической

силе.

В табл. на рис. 8

приведены пять случаев

опирания

стержня .

Д л я к а ж д о г о случая

дан ы краевые условия

и значения

Ат щ- За ­

hP

и?

\

^ w ! [

В случае ефе0

на

торцах

M = N(e—е0)

(1. 177)

+

( 1 - ^ ) ^ 1 Л _ ( 1 . 1 7 8 )

cos — Хл

с h - ^ - ѵл

Х.2 =-

; і . 180)

2 _ N _

*2(1 + ft)

• < l .

(1.181)

î -s- ш

отсюда

1 +

Ä(1 —(i)2

(1.182*)

А ' ѵ і _

1 — kr?

ѵ.2

• X" -

qß

(1.183)

IJ_

/7/3(1+ k\2)

(1 + кЩ ig и — и

w —- =

16D(1 +

2/гѵл2

+

\

2

(1 _ / г ѵ 2 ) thv — v

t/3

; i .

184)

M

( 1 + Ш Я )

4(1 + 2 Ш 2 +

ЬкЧі)

V

J

поэтому

t g U-+00 при А,->-1

{и = л%/2; ѵ =

лѵ/2).

П о л а г а я

іУ=0

и \ = оо, из (1 . 145)

находим

_Pß

(1 + кЩ

(1 + kW) ig и —и

16D

[I.

185)

_ pl{\+

k)fi)

ig и

M

Формулы, соответствующие однородному стержню, получим,

•положив

в (1. 185) k = 0.

11. КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

Вернемся к рассмотрению динамических уравнений

(1.51)-—

(1.53). Эти уравнения

в рамках

принятых

гипотез, учитывают

полную инерционную силу и представляют

собой довольно слож ­

ную систему параболического типа. Заметим, что если

считать

несущие

слон

мембранами

(А = / 2 = 0 ) , то система становится ги­

перболической. В общем случае

эта система уравнений

может

рованы. Однако здесь мы

ограничимся учетом

только главного

инерционного члена, имея

в виду, что влияние

остальных инер-

ционных членов на первые

частоты

незначительно. Д л я

этого в

(1.51) — (1.53) следует

положить

/ ё = 0 , D = 0 , в

результате при­

ходим к следующей системе

уравнений:

J ^ L _ B

*

¥ L

=

O.

(1.186)

дх

dt2

д Н

, Q 3 = 0 ;

J ^ _ ß *

J

^ +

( 7 =

0.

(1.187)

дх

*

дх2

dß

Вводя функцию у и в соответствии с

(1.65)

функцию

перемеще ­

ний %, приходим к двум

независимым

динамическим

уравнениям-

^ Ü _ _ L . ^ L =

0

;

(1.188)

дх*

а*

dß

ѵ

D (

l -

M

JL)»1

+

1± JL(l-JLJL)x=g.

J A

(1.189)

V

ß

дх* J dx* ~

cfi

dß

\

?

dß

7

v

Здесь

введена

скорость

распространения

продольных

волн

а = |

/

у .

(1.190)

Рассмотрим свободные поперечные

колебания

стержня .

П р е о б р а з у е м уравнение (1.190), используя безразмерную ко­

ординату

1 = лх/1

и записывая

функцию yv (£, t)

в

ф о р м е

г{\,і)=±-Х{\)ысШ.

(1.191)

Вводя в

полученное уравнение

безразмерные

п а р а м е т р ы

k =

]*!L.

tt«

=

J

2

^ ,

(1.192)

получаем

обыкновенное

дифференциальное

уравнение

относи­

тельно Х(%)

(штрих означает дифференцирование

по g)

X*1

— X™ —?s-X"

4--^-Х

=

0.

(1.193)

П о л о ж и в д а л е е

X®

= expVst,

(1.194)

0.

(1.195)

A»

ft

' Aft

^