Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Aft(Л-з = 2 с ) — толщина

слоев

( £ = 1 , 2 , 3 ) ;

Л — толщина

стенки

оболочки;

Ек и vf t

— мод}'ль

упругости и коэффициент

Пуассона слоев

( £ = 1 , 2 , 3 ) ;

G — модул ь

поперечного

сдвига

заполнителя;

k;j(ij—1,2)—

кривизны и кручение координатных линий;

Ii

— размер

оболочки

в

направлении

осей

;с,-(і = 1,2);

w

— нормальное

перемещение точек

исходной

поверхнос­

uf

ти (прогиб);

— тангенциальное

перемещение точек

заполнителя в

a-iidfjdz)

направлении

оси

л ' , - ( / = 1 , 2 ) ;

— з а к о н распределения поперечных сдвигов по толщи ­

не заполнителя в направлении оси

, ѵ ; ( / = 1 , 2 )

[al = a,(x1,xi),

f

=

f(z)]

іф].

8,^—символ

Кронеккера:

8 , 7 = 1 ,

S,7=0

при

Приведенный коэффициент Пуассона примем в виде

ѵ ^ - Ѵ

£ » А * Ѵ * f V E*TL* )

(2 1)

Y * = T Z ^ ~ ( J S

'* = А * А ^

( * = 1,2,3). (2.2)

Очевидно, дл я ул и 4

имеем

равенства

3

3

Д л я

более

компактной

записи

формул

удобно

ввести

осреднен-

ный модуль

упругости

/ 3

ч

Я =

( 1 - ѵ » ) А - і

( У

YZ^J-j

••

(2-4)

Тогда

E^hj;

Eh

Y»-

(2.5)

Непосредственно задается

rf/Vcte, поэтому определим

функцию

f(z)

равенством

с

\

f{z)dz=±-h*k

(2.6)

и введем обозначения

для следующих интегралов:

с

с

распределения поперечных сдвигов

по толщине заполнителя .

Пусть

д а л е е

/ ( < 0 = 4 - а 8 < + ;

/ ( ~ с ) = - ^ - Ѵ - '

(2-8)

Учитывая

первую

формулу (2.7),

имеем

т 0 = - і - ( * + + / _ ) .

(2.9)

Теперь можно перейти

к вычислению перемещений

деформаций

и напряжений в слоях.

1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

Р а с с м а т р и в а я

заполнитель

как трехмерное тело, на

основа­

нии формулы для деформации поперечного сдвига

е з

диі^ ^

df_

, 2

l Q

dz

'

•'

'

dz

к

'

имеем

uf

=

Ui +

Uif(z)-zw.),

{-с < г < с ) .

(2.11)

Здесь, как обычно,

нижний индекс

і, следующий после

запятой,

означает частное дифференцирование по координате

Тангенциальные

перемещения

поверхностей

соприкоснове­

ния заполнителя

с первым и вторым слоями (рис. 10, 11) соот­

ветственно будут

U[1 = ui-\-ct+ai

— czvh

z = c;

(2. 12)

ui2 = ai

— ct-a.[-\-cwth

z=—c.

П о э т о му тангенциальные перемещения несущих слоев

запишут­

ся в виде

гг]г = й.,-4-с2?+а,-— cwA — (z — c)wh

( r < z < ; c - f ^ ) ;

(2.13)

uf = ui

— ct-a^cw,,—

(z-\-c)wih

(—с — / / 2 < z <

— с).

(2.14)

£ Ь = е н + с і

+ а

ч + с ѵ - ч + ( ~ - с ) *ір

(2.

15)

е и ~

^ _ a f y - c y . , 7 + (z + с) •/,/,

(2.16)

^ = ^ + / И « , 7 + 2 ' ^

(2.17)

(2.

18)

где

еи=~Т {а> +

ttJ

+ k u w + Т " ™ .і-™./

(2.

19)

ги£ Поёерхность

лридедіния

Рис. 10. Распределение функции сдви­

Рис. 11.

Распределение, тангенци­

га по нормали оболочки

альных

перемещении по нормали

оболочки

Согласно закону Гука н а п р я ж е н и я в слоях запишутся

сле­

дующим образом:

ч

- 5 j _ l ( l - v ) s f / +

v8 / / ( . f l

+

e * l ) ] ;

(2.20)

(2.21)

П ер е й д ем к выводу уравнений равновесия.

2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Уравнения равновесия оболочки

получим,

используя

прин­

ных систем сумма работ всех

внешних и (внутренних

сил на вир­

туальных перемещениях равна

нулю

—ОП + ОЛ, - ЬОЛ 2 =0 .

(2.22)

2

L e

i,j

-c-h,

I,]

-c—h,

*.=

^].zdz;

(2.30)

Q — п л о щ а д ь исходной поверхности

оболочки.

Из

приведенных формул

следует, что Л',-,- и

представляют

собой обычные' в теории однослойных оболочек

тангенциальные

удельные усилия, приведенные к срединной поверхности

запол­

нителя, и обычные удельные моменты, тогда как

и Q;

явля ­

ются

обобщенными

удельными

моментами

и удельными

попе­

речными

силами,

соответствующими

введенным

перемещениям .

Производя

в

(2.23)

интегрирование

по частям,

получим

ш

=

- j Î ( 2 +

Ы

І

+ 2

+ Н « * - Q ' 0 ) Ы І +

a

l

;

+ [Ми,и+2МШі]3

+

v M 2 3 i 2 2

- knNn

- 2/г12 УѴ12 -

k22N22

+

(юлМи)л+

(^.і-^ігІг + С^.г-^ізІі + ^.а-^ва)^]b

w

\ dxxdx2

- j

- Г

+

2

Я

; 2 й

а і - ^ 2 2 ^ . 2 + (-/И 22.2 +

^

^

X

2

N^blt

+

2

^ / l 8

0 « " -

М

П ^ . 1 +

l M U . l

+

2 / W 12, 2

+

ö

+ w.aNa

+ w,1Nu)

3w]

Й '

Х

^

. - 2Л412Ъгѳ\№,

(2. 31 ;

/І — линейные

размеры

оболочки

в

направлении

,ѵ;(£=1, 2).

Вариация

работы

внешней

поверхностной

нагрузки,

приведен­

ной

к

срединной поверхности заполнителя, запишется так:

8/A1 =

j j (p1bu1-\-p2bu2-\-qbw)dx1dxi,

(2.32)

9

(Pu

Ръ Ç — компоненты

поверхностной нагрузки

в

направлении

оси хь

х2,

z),

а вариация

работы

контурных

усилий

Nfp

H?.,

Mfj,

QP. имеет вид

« Л =

J

^ 2

N ^ - B

A I + 2

^ ^ 8

0 ' ~ M

^ b w ^ + № b

w

j d

x i lo'

+

+

|

( 2

^ и 8

и '

+

2

Vf№-Mflbw,1

+

Qfow\dx2fc-2Mfêw\№

(2.33)