Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

И т а к , получили р а з р е ш а ю щ у ю систему уравнений

(2. 58), (2.72)

и

(2. 66) с общим порядком,

равным двенадцати,

следовательно,

на

контуре оболочки нужно

сформулировать шесть граничных

р а ж е н и е :

5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Перепишем вариацию потенциальной энергии

деформации

(2.31) с учетом формул (2.40) — (2 . 41)

^22,22 ^ і і

(^гп + у-ц) — 2Af 1 а (^12 "Т~у-іг)

— N22 (k22 + У 3 2 ) — ио,грл

— wAp] bw} dxtdx2 - f

Ii

о i

— M,

1

'22

- 2 / W 1 2 8 ^ t -

(2.73)

Ми—l-hNijCl3

= M,

Ш = _ Я { 2 ( ^ . і + ^ « . » ) 8 " / ° +

2 ( Я и . і

+ ^а£.2

-С?/0 )8а/

+

s

i

i

+ [2

MU.i}-% Nij(bij + -'-4) + 2i

^^.i^wXdx.dx^

'J

'J

i

+ Ï [2Vj»8"<°+2 Я « 8 а « — A

f M 8 w . a +

( ^ . 8 +

^ a a . i

+

о i

i

- / И 1 1 о ™ д +

( Ж и д 4 Г 2 Ж 1 2 , 2 + вуі 2 7Ѵі а + те>,17Ѵ11) 8и>]

rfjCjlS'-

- 2УЙш8да |o'o3.

(2. 75)

Отсюда

следует,

во-первых, законность отбрасывания потенци­

ала

ХѴ при

вводе

выражений (2.64)

и выводе уравнения (2.72),

так

как

# і ;

и Мц

не содержат Na;

во-вторых, что естественные

ментов Hij и Мц, причем контурные

и внешние нагрузки д о л ж ­

ны быть приведены к поверхности,

расположенной на расстоя­

М\\

(штрих поставлен д л я отличия от

момента

Мц),

имеем

М'п = Ми—1-

/ г 7 Ѵ и С і з =

УИи .

(2.76)

Итак, если за поверхность приведения принять поверхность,

расположенную

на

расстоянии

Ѵг/гсіз

от срединной

поверхнос­

ти

заполнителя,

то

нелинейные

уравнения

равновесия будут

иметь вид

Ѵ 2 Ѵ 2 / 7 4- ( 1 _ ѵ) Ѵ 2 ф - = Eh {knw,22

- 2k12w,12

+

+ htfU.ii +

™% - ™,А г )

;

(2.77)

Н о р м а л ь н ые перемещения

(прогиб)

w и функции

а,- через х

и ер в ы р а ж а ю т с я

следующим

образом

(ф

нормировано по-ино­

му) :

/ 1

Л2

V

(2.80)

w = M

f

( Ѵ « х ) , -

Л2

ѵ2 х).2

(2.81)

Р '

Тангенциальные удельные усилия через функцию F опреде­

ляются по формулам

vV,,=/\2 2-l-l F; Nl3 = —

Fils; N22

= FM

+ 4'.

(2.82)

Полные удельные

изгибающие

и крутящий

моменты

имеют ви д

Ж,

•о Эл-,2

_ L Ü ( 1 _ V ) ( 1 - 9 )

ô 2 t ?

Теперь

сформулируем несколько случаев граничных условий.

П р е ж д е

всего отметим, что граничные условия относительно

лируются

точно та к

же , ка к и дл я однородных оболочек.

Так ,

например, если на крае x.f=x?

потребовать

выполнения

усло­

вий Nu =

^22 = 0, то для функции

F получим

следующие

краевые

условия:

F+

4=0;

V2(F

+ W)=0.

(2.85)

Поэтому

рассмотрим

граничные

условия, касающиеся

функций

X и ф, характеризующих изгиб оболочки.

1. Край Хі = Хі° свободно

оперт:

щих

слоев вдоль

края,

отсутствует

( ® = . М ц = # , ,

= # , 2

= 0)

{

1 — — Ѵ 2 Ѵ / = 0 ; - ^ - ( 1

Ѵ а Ь = 0;

ß

I

дх?\

дх?

, V

W — (1 — ѵ)

1 — = 0;

(2. 86)

'

dxS-r*

dxrfxo

ч-

д°-

1

(32

(92

= 0;

дх\дх2

х — -

б)

имеется

д и а ф р а г м а

бесконечной

жесткости,

препятствую­

щ а я относительному сдвигу

несущих

слоев

вдоль

края

оболоч­

ки (аи=Міі = Яіі = а 2 = 0),

Х

=

^

1 =

І

І 1

=

*Р_= 0 .

(2.87)

дх?

дх^

дхі

^

2.

Край Хі=х\°

защемлен:

а)

диафрагма ,

препятствующая

относительному

сдвигу не­

сущих

слоев

вдоль

края

оболочки,

отсутствует

(w = w \ = сц =

= Я,2 =

0)

( і -

у

V 8 ) z = Z . 1

= ( V 2 x ) , i = « P = 0 ;

(2.88)

б)

имеется

д и а ф р а г м а

бесконечной

жесткости,

препятствую­

щ а я

относительному

сдвигу несущих слоев вдоль

кра я

оболочки

(w = w:i

= аі =

а 2

=

0),

Л2 Ѵ 2

Ь = 0 ;

dl

д<?

dl

J

d-j

(2.89)

=

0;

= 0.

дхі

дхъ

дх-2

дх\

3.

Край хі = Хі° свободен

от

связей. Имее м {Mn — Hn

= Qi

+

Н-Мі2,2=Яі2 = 0)

д х ? ^

дх22){

р

Г ѵ

Х— 0

—

ѵ )

—

_а_

(92

+

(92

M 2

X

(2.

90)

( 2 - v ) - p -

V 2

_ ( l _ v ) ( l - ô ) - ^ - < p = 0 ;

дх23

(92

1_

/

J 2

02

(9Л-1(9А-2

2

1,<9Л-2

дл-!

2

2