Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.07.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом, для рассматриваемых

случаев

оппрания на

крае существуют

по 4 граничных условия

относительно

функций

X и ф и два граничных условия для

функции F, что

соответству­

ет двенадцатому

порядку

уравнений (2.77) — (2.79).

 

Заметим, что

уравнение

(2. 79)

имеет

решение

типа

краево­

го эффекта, т. е. решение, быстро затухающее при удалении от края.' Очевидно различие решений, соответствующих краевым условиям а) и б), не должно быть существенным при определе­

нии таких интегральных характеристик оболочки, как

крити­

ческая

сила и частота колебаний. Это позволяет

во всех

случаях

приближенно положить ср = 0 и таким

образом

снизить

порядок

уравнении па два. Не имея возможности

останавливаться

на

этом подробно, отметим лишь, что расчеты подтверждают

это

предположение. Значительно сложнее

обстоит

дело с

третьим

типом

граничных условий. Д л я совершенно свободного

от

свя­

зей края, по-видимому, можно считать

ф = 0 и игнорировать

пос­

леднее

граничное условие, но при наличии

д и а ф р а г м ,

связыва­

ющих

несущие слои в продольном, а особенно

поперечном

на­

правлении, следует использовать полную систему уравнений. Во всяком случае этот вопрос нуждается в детальном исследовании.

 

В заключение

распорядимся

постоянной, которая

появилась

в

процессе интегрирования функции f

(z). Очевидно,

что одной

из

пяти величин

À, Т2, Тз, /+,

можно

придать совершенно про­

извольное значение, тогда остальные будут однозначно опреде­ лены. В дальнейшем примем Х=0.

6. ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Когда нагрузка, действующая па оболочку, достигает неко­ торой определенной величины, первоначальная форма равнове­

сия перестает быть единственно возможной.

Математически это

означает, что уравнения равновесия в этом

случае могут иметь

не единственное решение. Соответствующая

нагрузка называет­

ся критической, она может быть определена из линеаризирован ­ ных уравнений устойчивости, поскольку волнообразование про­ исходит при малом отклонении от первоначальной формы рав­ новесия. Критические нагрузки, найденные из линеаризирован ­ ных уравнений устойчивости, называются верхними критически­

ми нагрузками . Итак, линеаризируем уравнения

(2.77) — (2.78).

Пусть первоначальная

форма равновесия

характеризуется

перемещениями

 

 

 

и Д

а Д

ш°;

(2.91)

удельными усилиями и удельными

моментами

 

№.., /У1?., М°...

(2.92)

64

Поскольку

все эти компоненты

выражены

через

функции

/,

ср, найдем, что функциями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х°. Ф°. F0

 

 

 

 

 

(2. 93)

определяется первоначальная форма равновесия.

 

 

 

Пусть нагрузка ри

р2, q такова,

 

что уравнениям

равновесия

и граничным условиям наряду с функциями

(2. 93)

удовлетво­

ряют другие, отличающиеся на произвольно малую

величину,

функции

 

Х° + ех, ф° + £Ф, F° + eF,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.94)

где е — малый параметр .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя функции (2.94) в уравнения

(2.77) — (2.79)

и

учитывая, что функции

(2. 93)

являются

решением этих

уравне­

ний, после пренебрежения в этих

 

уравнениях

слагаемыми с е-

приходим к уравнениям относительно %, ф и F

 

 

 

 

 

 

 

V2V2F=Eh

[knwiW

 

— 2k12wil2

+ kww<n

-f-

 

 

 

 

 

+ 2wij3w°12

— nfiuwM

— iafimw<u\;

 

 

(2.95)

D ( i _

^

v 2 ) V 2 V 2

X + F M

(ku-w°u)

 

-

2F, 1 2

(k12-w°i2)

 

+

 

+

F,n

(k„ - w%) -

№n

 

w,n

-

2 i V > , 1 2 -

W 2 > , a

=

 

 

 

 

 

=

ѴРі 1 зді1 +

¥ > я в д д ;

 

 

 

(2.96)

 

 

 

у

у

Ѵ г

Р

?

;

 

 

 

 

(2.97)

 

 

 

™ = f 1

— T - V a W .

 

 

 

(2-98)

или, предполагая первоначальное

 

состояние

безмоментным

и

Р і = / ° 2 = 0, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V*V2F = Eh [knWi22

— 2/г1 2 даі 1 а + k22wtll]

;

 

(2. 99)

 

D ( \ V * ) v * V \ + F , 2 2 k n - 2 F , 1 2 k 1 2

+

 

 

 

 

+ F,nk22+N°nwîU-2NQnw,12

 

 

 

 

+ N°2wt22

 

= 0;

(2. 100)

 

 

 

у у Ѵ \ = т .

 

 

 

 

(2.101)

Эти уравнения пригодны дл я исследования потери устойчи­

вости при малых перемещениях пологих трехслойных

оболочек

и непологих

трехслойных

оболочек

в том случае, когда потеря

устойчивости

происходит с образованием, по крайней

мере в од­

ном направлении, большего числа

волн.

 

 

 

 

 

 

3

3197

.

65

Относительно граничных условий заметим, что,

поскольку

они формулируются относительно %, ц> п F с помощью

линейных

выражений, пх вид не изменится.

 

В дальнейшем будет рассмотрена потеря устойчивости сво­ бодно-опертых цилиндрических и конических оболочек. Поэто­ му, на основании замечания, сделанного в конце предыдущего параграфа, полагаем ц>=0.

7. ДВА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ ПО ТОЛЩИНЕ ЗАПОЛНИТЕЛЯ

Д о

сих

пор функция Г (z)

считалась совершенно произволь­

ной, но

для

практического

использования

полученных

уравне­

ний необходимо придать ей конкретный вид.

 

 

Здесь мы сравним два вида распределения поперечных сдви­

гов по

толщине заполнителя,

определяемых

функциями

 

 

 

Л ' ( * ) = 1

и

/ 2 ' ( г ) = ( і - - ^ ) .

(2.102)

Первый закон распределения вытекает из уравнений равно­ весия сплошного тела с легким заполнителем (ѵз = 0). Действи­ тельно, из условия у з = 0 следует, что нормальные и касательные напряжения of,, о^, з3 ^ равны нулю, поэтому, решая уравнения равновесия, получим

— ^ - = 0 ; — ^ - = 0 ,

dz dz

т. е. касательные напряжения и, следовательно, деформации по­ перечного сдвига распределения равномерно по толщине запол ­ нителя. По существу этот закон использовался в подавляющем большинстве работ, посвященных трехслойным пластинам и обо­ лочкам . Ему соответствует кинематическая гипотеза, которая формулируется следующим образом . Н о р м а л ь к исходной по­ верхности в заполнителе в процессе деформации оболочки по­ ворачивается, не искривляясь, не деформируясь в поперечном направлении, но и не оставаясь перпендикулярной к деформи­ рованной исходной поверхности [10, 11]. Отсюда следует, что аг- являются углами поворота нормали в заполнителе, дополни­ тельными к углам поворота нормали в несущих слоях, т. е. угла­ ми сдвига несущих слоев относительно друг друга.

Обобщенные моменты Нц оказываются просто частью пол­

ных моментов

Mij, которая при деформации совершает работу

и на углах а,-.

 

Из формулы

(2. 6) —(2.9)

 

/ ( z ) = z ; т о = - Г і = т 2 = Т з = ^ + = = ^ - = 1 .

Ь6

поэтому согласно

(2. 55) получим

 

 

 

 

г ) і = Ѳ ь іІ 2 = Ѳ, + Ѳ2 , г)з = Ѳ , + 2 Ѳ 2 + Ѳэ ,

 

 

(2. 103)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ х = t * { 1 + 2 ( Y l + y 2 ) - 3 ( Y l - v 2 ) 2 I ;

I

 

 

е 2 = з / 8 ѵ 8 ( ѵ А + ѵ . ^ ) + б ѵ і Ѵ Л ( ' і + / а ) ;

 

 

(2. Ю4)

ö 3

= 4 ( Y A a

+ V A 2 ) - 3 (yA ~ y2t2f.

J

 

 

Рассмотрим,

в каких

пределах

изменяются

параметры щ,

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко видеть,

что т ) 3 = Ѳ

принимает максимальное

 

значение

при Yi=Y2 . і\ = І2,

т. е. дл я оболочки симметричной структуры.

Вычисляя, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ = ^ + 4ѵ1 (^ + 3 ^ з + 2^2 ),

 

 

 

или, принимая у\ = 1/2 (легкий

заполнитель),

 

 

 

 

 

 

Ѳ = 1 + Ѵ И і

 

 

 

Наибольшее значение этого

выражения при условиях

 

2([ + із =

= 1, 1^=4^3=0 равно 3, наименьшее

— 1 . Вычисления

показыва­

ют, что Ѳ ^ І , поэтому оно изменяется в пределах

 

 

 

 

 

 

1 < Ѳ < 3 .

 

 

 

(2.105)

Нетрудно показать, что в ы р а ж е н и е

 

 

 

 

 

 

 

D =

 

Ѳ

 

(2.106)

 

 

 

 

12(1 — ѵ2)

 

^

;

является цилиндрической жесткостью составной оболочки отно­

сительно

поверхности,

расположенной

на расстоянии 1І2^с\з—

= 1І2^(у\і

+ уА~у2і2—уг^з)

от

срединной

поверхности

заполни

теля, т. е. относительно поверхности приведения.

 

Теперь получим оценку

Согласно (2. 69)

 

Д л я оболочки симметричной

структуры с легким

заполните­

лем

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 3 1 + f

 

(2.108)

Отсюда

 

0 ^ * ^ 0 , 2 5 .

 

(2.109)

 

 

 

В случае

легкого заполнителя

Ф представляет собой

отношение

суммы собственных цилиндрических жесткостей несущих слоев к цилиндрической жесткости всего сечения, вычисленной отно­

сительно поверхности

приведения. Д л я жесткого заполнителя $

3*

67

претерпевает незначительные

изменения

за

счет собственной

жесткости заполнителя

на

изгиб,

однако

пределы

изменения О

не

меняются, так как і Э = 0

только

в том случае, когда

несущие

слои

являются

мембранами

(Л = ^2 = 0), а

й = 0 , 2 5 ,

когда толщи ­

на заполнителя

равна

нулю

(f3

= 0) . Практически

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& < 0 , І .

 

 

 

 

(2. ІІО)

 

Наконец, для у непосредственно из формулы

(2. 70) след^ •

ют пределы изменения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < Y =

 

Ѳі +

Ѳ 2

 

 

 

( 2 . 1 П )

 

 

 

0! + 2Ѳ2 + Ѳ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как следует из (2.83) и (2.84)

с точностью до членов,

содержа ­

щих

г}, коэффициент

I—Y определяет ту долю

общего

момента

M;J,

 

которая воспринимается несущими слоями

за

счет их

жест­

кости на изгиб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй закон распределения фигурирует в

уточненной

тео­

рии

однородных

пластин (уз=1)>

согласно которой [16] сдвига­

ющие напряжения

и

деформации

поперечного

сдвига

оказыва ­

ются

распределенными

по

закону

квадратной

параболы .

 

 

Используя формулы

(2.6) — (2 . 9), при

Х = 0

найдем

 

 

 

 

 

 

 

15

т 0

= -204

— ; U

~*

3

 

 

 

 

 

 

 

J

315

 

 

 

 

 

Д л я ііь т)2, т]з имеем

выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

[ п

, 1 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.112)

 

 

 

Л 3 = Ѳ 1 + 2 Ѳ а + Ѳ 3 .

 

 

 

 

 

 

Из этих формул следует, что щ,

как и в первом случае, рав­

но Ѳ. Это вытекает

из физического

смысла

коэффициента

 

 

 

 

 

 

 

D--

 

Eh?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12(1 — ѵ2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не

зависящего

от

способности

заполнителя

сопротивлению

сдвигу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л я •& имеем

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵз'з22

Ѳ + 7 (Ѳ 2 + Ѳ3 )

7

 

 

 

9

Ѳ і Ѳ з — Ѳ 2 2

 

 

 

 

10 ^з2Ѵа

 

 

=

 

 

 

 

35

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѲѲ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

350!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.

113)

68

Смотрите также файлы