Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Gt3(\

— v 2 )

1

5

£ 0 !

. 1

6

к

'

1 + - т т - Ѵз'з2

Зо

Отношение ßi/ß 2

вычисляется по формуле

Рі

5

/ ,

.

1б/з2у3

(2.115)

- = —

\

І + ^ і і ^ .

иг

6

1

35Ѳ:

/

ѵ

;

Исходя из физического смысла и структуры

уравнений

рав­

новесия

можно утверждать, что способность оболочки сопротив­

ляться

нагрузке

будет тем меньше, чем меньше

коэффициент ß.

Тогда используя формулу (2.115), можно

сделать

вывод,

что

при уз=£^2/3 следует отдать предпочтение равномерному

распре­

делению поперечных сдвигов по толщине

заполнителя,

тогда

как

при ѵ з > 2 / 3 — распределению

по квадратной

параболе .

8. УЧЕТ НАЧАЛЬНОГО ПРОГИБА ОБОЛОЧКИ

Форма

недеформированной

оболочки

обычно

более

или ме­

нее

отличается от той идеальной

формы,

к которой

стремились

при ее изготовлении. Учет несовершенства

оболочки, начальных

неправильностей

при решении

задачи

может изменить

характер

работы оболочки и в ряде случаев приблизить результаты

рас­

четов к экспериментальным . В этом

п а р а г р а ф е

приводятся не­

линейные уравнения пологих трехслойных

оболочек с учетом на­

чального

прогиба

и при отсутствии начальных

напряжений .

Пусть

функция

координат

w°(xi,

х2)

характеризует

от­

клонение оболочки от идеальной формы

(начальный

прогиб),

тогда компоненты деформации е,7 будут вычисляться

по

ф о р ­

мулам

eij = 4"

(%,; Т

+ k,/W + 4

Wlt W.j + 4

(WjW.j

+

ЗДіЗДу)..

(2. IT 6)

а уравнения

равновесия

(2.77) — (2.79) запишутся

ів форме-

V 2 V 2 F +

(l _ V)ѵщг =

_ L E h [ { 2 k n - w , n - w ° n ) w i M

+

+

(2hw -

w,m

-

w%) wiU +

2w*12+2w,12

(2г»°s -

2k12)] ;

(2. 117)

3*

3197

69

° ( 1 ~ у x ° j v V z + { F ™ + V F )

(*" ~

~

-

=

<7 +

V і 7 <уд +

Ф\2та/,2);

(2. 118)

- —

l i ^ V 2

œ =

= t c .

(2.119)

2

ß

При этом по-прежнему

ш через функцию

% в ы р а ж а е т с я

так:

да( 1 — ^ - v a ) Z .

(2.120)

Поскольку компоненты деформации а,-,- и

остались

неизмен­

ными,

легко видеть, что учет начальных прогибов влияет толь­

ко на

формулировку граничных

условий

дл я

тангенциальных

Уравнения поперечных колебаний трехслойных пологих обо­

лочек можно получить из уравнений

(2.77) — (2.79),

добавляя

на

основании принципа Д а л а м б е р а

к

левой

части

уравнения

(2.78) инерционную силу

(2.

121)

где

pu — удельная плотность материала

k-ro

слоя ( / г = 1 , 2,

3) .

10. НЕКОТОРЫЕ

ЗАМЕЧАНИЯ

Рассмотрим общую теорию оболочек симметричной по тол­

щине структуры. Д л я развития

теории

трехслойных

оболочек

местную

систему дифференциальных

уравнений

относительно

прогиба

w, силовой функции плоской

задачи F и

функции

по-

* Reissner Е. Finite Deflections of Sandwich Plates. Journ.

of Aero.

Sei.

1948. vol. 15. No. 7. pp. 435—440.

перечных

сдвигов

ср=аі, 1 + 02,2 (где .ѵь

л-2 — ортогональные

ко­

ординаты

в срединной плоскости заполнителя; см,

а 2 — попереч­

ные сдвиги в плоскости .ѵОг и yOz соответственно;

z — расстоя­

ние по нормали срединной поверхности заполнителя) .

Э. И.

Грпголюк

[10] вариационным

методом установил

гра­

термическом смысле, а оси их ортотропии совпадают.

Система

четырех уравнений, с о д е р ж а щ а я ш, F,

а\,

ао для изо­

тропных несущих слоев сведена последовательно

к

трем

{w,

F,

ср) и двум

(w,. F) нелинейным уравнениям . Здесь

впервые

в

те­

нейном распределении

касательных

перемещений

по

высоте

пакета, позволившая методологически строить эту

теорию в ду­

хе теории однослойных

оболочек.

Принималось,

что

несущие

гибы,

а

заполнитель

воспринимает

только

малый

поперечный

сдвиг.

Гипотеза К и р х г о ф ф а — Л я в а

о прямой

и нерастяжпмон

нормали

несущих

слоев и предположение

о

прямолинейности

нормали

в заполнителе

удовлетворяют принятому

линейному

закону

распределения

касательных

перемещений

по толщине

условии, что срединные поверхности несущих слоев

присоеди­

нены к крайним поверхностям заполнителя.

Р а з в и в а я прежнюю работу [10] Э. И. Грпголюк

выдвинул

линейных

уравнений

(w,

F,

а\, аг) для изотропных

слоев

с оди­

наковым коэффициентом

Пуассона

сводится к системе

трех

уравнений

(w, F,<ç). В [10,

И ] дается т а к ж е уравнение прогибов

w, описьюающее устойчивость пологих оболочек

при

малых

прогибах.

Случай

трехслойной

оболочки

несимметричной

структуры

может

быть

изучен

на основе компактной системы

уравнений.

Д л я

случая оболочки

с изотропными

несущими

слоями

и не­

сжимаемым

трансверсально

изотропным

жестким

заполните­

лем ів постановке [11] систему пяти нелинейных уравнений

мож^

но свести

[15—14] к трем дифференциальным уравнениям, со­

д е р ж а щ и м

функцию

прогиба

%, силовую

функцию F и функцию

3**

7і

углов поворота cp, в ы р а ж а я прогиб w и углы

поворота нормали

к срединной поверхности заполнителя

х2 )

в виде

(2.

122)

1 — а г да

_д_

<?<p

Y

L ß

àx-2

v2 z + cU:,

где

(2.

123)

V 2 — д'2 ^/dx-f -\- д'2 [)/дх22

— о п е р а т о р

Л а п л а с а ;

h — суммарная

тол­

щина пакета; ß — коэффициент

поперечного

сдвига;

у, •& — коэф­

фициенты, зависящие

от толщин и механических характеристик

оболочки. При этом

одно

уравнение,оказывается

независимым

( 1 — 0 ) Л 2 V2 q>=2ßcp (ѵ — коэффициенты П у а с с о н а ) .

Система дифференциальных

уравнений с %, F, ср имеет общий

может

не

приниматься

во внимание.

Тогда з а д а ч а сводится к

решению

системы двух

нелинейных

уравнений

(%, F ) ,

общая

структура которой весьма напоминает соответствующие

урав­

нения

теории конечных

прогибов

однослойных

оболочек

Мар -

герра

[27]. Более того, эта система

является разрешающей — че­

рез основные функции %, F в ы р а ж а ю т с я все перемещения

и уси­

о б л а д а ю т , и для решения па их основе конкретных задач

при­

ходится вновь возвращаться к более громоздкой системе

диф­

ференциальны х у р а в н е н и й .

Г л а в а 3

Относя круговую

цилиндрическую оболочку

радиуса R, дли­

ны / к координатам

Х\=х, x 2 = s, измеренным соответственно

по

образующей

и дуге круга нормального поперечного сечения,

со­

гласно (2.99)

— (2.Ю0) приходим к следующим

линеаризирован -