Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

„ „„

Eh

д2

Л

Л2

- ,

.

(3.1)

ѵ2 ѵ г =

R

дх2\

• 1

ß

V"

у ;

U

£> 1 — — V 2

Ѵ2Ѵ2у_

+

TV?!

— +

â2

<92 \

,

-,

Л2

V

У =

0.

(3.2)

dxds

ds2

1

2 2

ft

.

А

З д е с ь

02

,

(92

У 2 = <9л-2

Ös2

^ =

Ѵ 2 ^ = х = Ѵ 2

х = Ѵ 2 Ѵ 2 ) с = 0

при

х=0

и х=1.

(3.3)

Систему уравнений

(3. 1) — (3 . 2)

с помощью

введения

разреша ­

ющей функции %і

г,2^2

с- Eh

д2

(л

h2

л

(3.4)

R

дх2

\

a

) Ii

А

ѵ

сведем к одному уравнению устойчивости

D 1

9А2 _ , \

_ „ _ , _ , _ ,

.Eh

д*

1

V Yi

V I V V V V у, Ц

(92

- t ^ ) v

^ X i =

0 -

(3-5)

- n ^ { 1

Х г = Ѵ 2 Х і = Ѵ 2 Ѵ 2 Х і = Ѵ 2 Ѵ 2 Ѵ 2 ) С і = Ѵ 2 Ѵ 2 Ѵ 2 У л = 0 при х=0

и х = 1.

(3.6)

где m — число

полуволн

по образующей

цилиндра,

п — число

волн по

окружности,

образующихся

в момент потери

устойчи­

вости оболочек; хо — постоянная.

Вводя

(3.9)

в

(3 . 8),

придем

к

формуле

д л я

критического

осевого усилия

1 +

U [

« 2 \ 2

т2

N--

2£>зтЗ

Х2

+

ц2

Х2

'

Л2)

I т2

п2

т.1

т 2

п2 \ 2

l

+ k {

U

+

V2

"хг"

U

4 "

Я2~/

J

_£_

(3.

10)

г д е

/і2Я 2

12^2(1

_ V 2 )

0Я2

Я4Л2Ѳ

П о д б и р а я целоисчисленные

значения

т,

п,

соответствую­

щие минимуму в ы р а ж е н и я

(3. 10), найдем

наименьшее

значение

критической осевой силы

^ к р г а 1 „ =

- 2 я / ? Т О к р

т 1

п =

- ^ - ^ 1 | п .

(3.11)

Проведенные

вычисления показывают,

что при k^O,

К^0,4,

/ ^ „ п р а к т и ч е с к и не зависит от п а р а м е т р а А, (см. т а б л и ц у ) .

Таблица значений

ртіи*

при

j . i 2

= 100,

ф = 0,05,

/ г = 1 , л = 0

X

1,00

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

*

•5,4218

5,4212

5,4013

5,4134

5,4136

5,4013

5,4093

Лпіп

m

7

7

8

9

9

10

11

На рис. 14 приведены графики

зависимости

наименьшего

критического

значения

п а р а м е т р а

Р* =

Р*т1п>

определяемого из

формулы

Infi

л 2 \

/tri1

л 2

\ 2

m 2

1 +

Jut^nL)

iL

1

'

(oL + JiL)2

{ I2

' Я2 /

À2

\ 12 ^ Л2 )

от параметра

. сдвига

k дл я значений

ц.2 = 64,

1000, 5000, 10 000,

15000, 30000

п р и Ф = 0 , 1 .

С

достаточно

хорошим

приближением

эту зависимость мож ­

но получить, считая т2ІХ2+п2/я2

и т 2 Д 2

непрерывными

аргумен­

тами и проводя минимизацию в ы р а ж е н и я

дл я р*.

П о л а г а я

rrfi

, л 2

,

nfi

, л 2 \ 2

fnfi \ - і

^ < m 1 < o o , m 1 < m 2 < o o j

Легко видеть, что минимум в ы р а ж е н и я (3. 13)

достигается

на границе изменения переменных, определяемой

равенством

т\=т2,

(3. 14)

1

Um

(3. 15)

1 +

кт{1

mi

Рассмотрим два возможных

случая.

1. Пусть /г/?гI — 1, где іщ

соответствует р^п.

Здесь член

іЭ7гші<СІ и им можно пренебречь,

вследствие

чего формула

Ф о р м у ла (3. 17) дает

достаточно

точные значения Р*п1п^

если выполняется условие

1 —p./fe>».

(3.18)

(J-

*

г - 1 1

(3.20)

Уравнение

(3. 19) с

достаточной

дл я практических

расчетов

точностью может быть использовано при /г>0,2.

Согласно

(3.20) и (3. 11) п р и / е > 0 , 2 имеем

кр min "

Eh?

V

- O A , —

(3.21)..

2R

3 ( 1 - Ѵ2)