Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

,

^(

і

і)£( -т

)

-

N

'

2nR

1 + 2

с о 5

І

, !

ѵ Ѵ ь = 0

(3

27)

ищем в форме

со

о

СО

Z i = s i n

-~L

2

a - i e / ™ / *

(3.

28)

где

— со

" • - « • ' ( S + ^ ' l ' + ^ + S ) ] -

Вводя обозначения

(3.29)

/г

' 8

/г

и подставляя (3.28)

в уравнение (3.27), найдем

связь

м е ж д у

коэффициентами

ряда

(3. 28)

ял +і/?*г — ( т л — р * ) а Я 4 - а д _ 1 / і * е =

0 при « ^ О

(3.30)

и

ф0 =

( і + 2е-2!Л/7*

при

я =

0.

(3.31)

Здесь

\

яо

'

/п2

w i l

^ w w ^

^ - f | * a

¥

. (3.32)

(m?

rfl\

тЯ

1

Infi

nï\i

^

'

Преобразуя

(3. 30)

В о з в р а щ а я с ь

к о0 ,

будем

иметь

бесконечную

цепную дробь

ÜL =

Р Н -

—

(3.34)

ао

,

...

Р^~

h — р- —

1

Фз—Р- — • • •

Теперь на

основании

(3.31)

имеет

уравнение в

виде

бесконеч­

ной цепной

дроби

0 = ^

^

.

(3.35)

*:

1I/9

, 2

из .которого можно определить как р'- при заданном

е, так и е

при заданном

р*.

Расчеты показывают, что р* с высокой точностью и всегда с

приближением

снизу может быть определено по формуле

NR __

% _

т. е. критическая

сила,

приложенная

вне центра, будет равна

чину

1 + 2 е , где е — эксцентриситет

приложения силы.

4. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНОМ

ПОПЕРЕЧНОМ ДАВЛЕНИИ

Исследуем потерю устойчивости опертой по торцам тонкой

упругой круговой пологой трехслойной цилиндрической

оболоч­

ки,

подверженной

действию внешнего

равномерного

поперечно­

го

давления q [14,

15]. По д действием

этой

нагрузки

в оболочке

при

докрптпческом

безмоментном

состоянии .возникнут

удель­

ные усилия,

равные

^ 1 = 0 ; N ^ - q R ;

№и=0.

(3.36)

З а д а ч а

сводится

к решению

уравнения

устойчивости

« ( ' - T ' ! ) ' w ^ + ^ ^ ( 1 - M - +

+ l R £ ( l ~ y

V ) V V z , = 0 .

(3.37)

Отыскиваем решение уравнения

(3. 37) в виде

X i = X o S m — c o s — .

(3.38)

П о д с т а в л яя

(3.38)

в

(3.37), приходим к

уравнению

1 +

I

1

Л 2

\

, , 2 \ 2

л-

Х2

1

<г=-

Л

+

Я 2 ;

Я 2

/7і

Х4

/1/

1 +

А'

Х2 +

Я 2

Л

\ Я 2 +

Х2

(3.39)

где

\2qR*(l

—

у 2 )

12/?2(1 — у 2 )

(3.40)

Я4ѲА2

П2Л2

Я2Р

Н а рис.

16

приведены

графики

минимального

значения критическо­

го давления

9*=i7m!n

в

зависимо­

сти от коэффициента

А, д л я значений

параметров

при ц 2 =

15000 и •0- = 0,05,

когда k=0;

0,04; 0,08; 0,2; 0,8; 2;

1000.

Рис.

IS. Зависимость критического

значения

внешнего

равномерного

поперечного

давле-

ния

q = <7 m i I 1

круговой

цилиндрической

оболочки

от

отношения

X=I[R

(I —

длина,

R—

радиус)

при

ц . 2 = 1 5 000!,

ö =

0,05

для

ряда

значений

параметра

сдвига

k

5.

КРИТИЧЕСКАЯ

НАГРУЗКА

ПРИ

ВНЕШНЕМ

РАВНОМЕРНОМ

ВСЕСТОРОННЕМ

ДАВЛЕНИИ

Перейдем к изучению потери устойчивости

опертой по тор­

цам

тонкой

упругой

круговой

пологой трехслойной

цилиндри ­

удельные усилия,

равные

1

--0.

(3.41)

З а д а ч а сводится

к

решению уравнения

устойчивости

D i l

Ш

ѵ Ѵ ѵ Ѵ х і + -

1

А2

ѵ 2

Ь +

Р

дх*

Р

•gR

_ L

JL

i

JUL

A3

(3.42)

2

дх* ^

ds'

которое имеет решение в форме

ях

/is

(3.43)

(3.44)

где

1 2 ^ 3 ( 1 _ Ѵ 2 ) _ Л = = _ Л 2 я 2 _ . ц 2

1 2 ( 1 - Ѵ 2 ) ^ 2 _

£Л30я2

ß/?2

jri/220

À = —

(3.45)

кого давления

<J* = Q*nln в зависимости от коэффициента сдви­

га для значений

параметров (,і2 =16, 64, 100, 1000, 10 000, 30 000;

оболочки,

подверженной

действию

концевых

крутящих

момен­

тов / И к р в

плоскости параллельного

круга

[14, 15]. Под действи­

ем этих моментов в оболочке при докритпческом

безмоментном

состоянии

возникнут удельные усилия,

равные

^ ? 1 = 0 ;

^

=

0 -

( 3 - 4 6 1

Тогда

задача

сводится к

решению

уравнения

устойчивости

0(\

—

т-2ѵ-2ѵ-2^2.,;

2УѴ?2

dxds

(3.47)

которое разыскиваем в виде

Zi =

XoSin

a

ll(S — 1)Л")

•b

cos

Il (S —

-qx)

.

(3.48)

sin

R

Здесь n — число

волн

по

окружности;

r j — параметр, характери ­

зующий наклон винтовых складок, образующихся

при

потере

устойчивости

/о'. а>

b — константы.

Подставляя (3.48)

в

(3.47),

приходим

к

уравнению

а [Ь(п,

— 1) — -і {ni)]

cos - у -

cos

П (S

— Г)Х)

R

+ а [ ф ( Я - П + * ( Л

l ) ] s i n i ^ s i n

_ 1 ( * - Ч * >

/

R

+ b

fy(nl)—Hn-

1)] sin

COS

J i i i Z ^ f L

+ *ІФ(/г.1) +

« р ( я . - 1 ) ]

cos

—

sin

= 0,

(3.49)

=

где

1 +

—

Ф(л +

1) =

D

Л2

»1

2

/ л

X

1 +

—

т)

x [ ( - - f ± . f ) ' + ( T ) T + f

1Г * Т

лті

Я \ 2

_л \ 2

Я"

1

R

-

l

}

R

(3.

50)

1

1 2