Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
4. Панель жестко защемлена по всему контуру. Имеем
« 1 |
= |
i V 1 |
2 = i o =wil = |
a1 |
= |
0 |
при |
л: = |
0, |
х = 1; |
1 Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4-. |
1 о ) |
ii.2 |
= |
N1oi |
= w = zv,n = |
a2 |
= |
0 |
при |
у = |
0, |
у — Ь. |
|
Д л я функции F и % эти условия запишутся так:
|
dx |
|
ал-з |
V |
ß |
' / |
<Эх |
ол-з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
х=0, |
х = |
1\ |
(4. 14) |
^ |
= |
^ |
= |
f l _ ^ i v = ) x = ^ = |
^ = 0 |
|
|||||
du |
|
ду* |
|
\ |
ß |
/ л |
<fy |
о'(/з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
і/ = 0, |
у = |
6. |
|
В следующих разделах при решении конкретных задач будем использовать р а з р е ш а ю щ е е уравнение
которое |
очевидным образом получается из (4. 1) — (4 . 2) . |
|
Д л я |
формулировки |
граничных условий относительно функции |
X следует иметь в виду |
зависимости |
|
Согласно ранее изложенному граничные условия для свободно
опертого края |
(х=.ѵ°) |
через |
хі |
записываются в |
форме |
|
у |
^^lL=J^lL |
= |
^Il |
= -^L = 0 |
(4 17) |
|
/ Л |
Öx2 |
ÖX4 |
|
0X6 |
0*8 |
|
для жестко защемленного края (х = х°)
^ |
ß |
J |
/ а |
<?Х |
0X3 |
0*5 |
0X7 |
|
' |
Перейдем к рассмотрению частных задач . |
|
|
|
|
|||||
|
2. УСТОЙЧИВОСТЬ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПАНЕЛИ |
|
|||||||
ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ |
СЖАТИИ |
|
|||||||
|
|
И |
ПОПЕРЕЧНОМ |
ДАВЛЕНИИ |
|
|
|
||
Пусть тонкая упругая круговая пологая цилиндрическая па нель находится под воздействием внешнего равномерного попе речного давления q и равномерного сжимающего усилия N, тог-
да удельные усилия докритического состояния можно выразить формулами
|
N°n=-N; |
|
№i2=-qR; |
|
|
№п |
= |
0. |
|
(4.19) |
||||
Принимая функцию %і в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X i = Z o S i n |
тпх |
. |
|
пли |
|
|
|
|
,Л |
|
п л , |
||
|
— — s |
i n — 2 - , |
|
|
|
|
(4.20) |
|||||||
|
|
|
|
I |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
где m и п— число полуволн в продольном |
и окружном |
направ |
||||||||||||
лениях, после |
подстановки |
(4.20) |
ІВ |
|
уравнение |
(4.15) |
найдем |
|||||||
|
|
|
1 + |
Щ «2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|||
[N |
^ + qRäA = |
[- |
|
|
^ |
(*» + |
- |
N |
|
|
|
|||
/Зл;2 V |
*2 |
/ |
|
/ |
„ |
|
nfi \ |
\ |
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
(j.2 |
m4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
|
|
|
|
X W |
, |
m2 \ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß62 |
|
|
Л2^20Я 4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
Полученная |
формула позволяет |
|
исследовать |
устойчивость |
||||||||||
панели как при чистом |
продольном сжатии (<7 = 0) |
и чистом по |
||||||||||||
перечном давлении (N=6), |
так и |
при совместном |
их действии. |
|||||||||||
Как частный случай при R-^oo, |
ц2 —*0 из |
(4.21) |
вытекает |
фор |
||||||||||
мула дл я критического одностороннего удельного |
с ж и м а ю щ е г о |
|||||||||||||
усилия плоской трехслойной прямоугольной |
пластины |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
/ |
|
/П2 \ |
/ „ |
ttfi \2 |
|
|
|
|
|||
М = — |
|
і |
|
|
|
^ |
i l i - |
|
(4 |
23) |
||||
|
*2 |
|
/ |
|
OT2\ |
те2 |
|
|
|
|
|
|
||
3. УСТОЙЧИВОСТЬ |
СВОБОДНО |
|
ОПЕРТОЙ |
ПАНЕЛИ |
|
|
|
|||||||
ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ ДЕЙСТВИИ РАВНОМЕРНОГО ПРОДОЛЬНОГО СЖАТИЯ, ПОПЕРЕЧНОГО ДАВЛЕНИЯ И СДВИГА
Пусть помимо равномерной по круговому контуру осевой сжимающей силы N и внешнего равномерного поперечного д а в ления q свободно опертая пологая круговая цилиндрическая па нель подвержена действию краевых равномерных сдвигающих усилий т. Тогда
N°u=~N\ |
Nlt=—qR; |
№l2 = x. |
(4.24) |
89
Р е ш е н ие уравнения |
(1.6) |
из-за |
наличия |
несимметричного |
|||||||||
слагаемого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дхду |
\ |
ß |
I |
|
/ л |
|
|
|
|
|
приходится отыскивать в виде бесконечного |
|
двойного |
ряда по |
||||||||||
синусам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбрав прогиб панели m форме |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
\ |
Ч |
|
мѵ |
|
тлх |
пли |
|
|
|
|
(4.25) |
|
|
|
. . V U ^ s i n — — s i n — ^ |
|
|
|
|
|||||||
|
ttZ=l /1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д л я xi будем иметь выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7л- |
4ѵѵ |
|
. |
лгл.ѵ |
, |
|
нл</ |
|
(4.26) |
||||
^ ш л sin |
— |
sin |
|
|
|
||||||||
|
|
то |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• 1 л ~ 1 | л 2 + |
? 2 |
I T H " 2 |
+ |
?,2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к а ж д ы й член которого |
удовлетворяет |
краевым |
условиям |
(4. 17). |
|||||||||
П о д с т а в л я я |
(4.26) |
в |
уравнение (4.15), |
найдем, что |
(4.26) |
||||||||
и, следовательно, |
(4.25) |
не являются |
точным решением, так как |
||||||||||
л е в а я часть уравнения |
|
(4. 15) |
не обращается |
в нуль. |
|
||||||||
|
|
во |
Об |
|
|
|
|
2 J L t |
V |
Ѵ , ^ |
т л — c o s ^ c o s ' ^ + |
||||
ОЛ2 |
j£J |
|
|
|
|
|
|
|
m —1 ' я = 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
£>Л? |
|
|
1 + kü |
f «2 + |
m? |
\ |
Л2 i |
ОТ* |
||
|
/ |
„ |
m2 |
) |
|||
|
|
+ |
X2 |
(rf + f ^ M W |
|
||
1 + |
\ |
|
X2 |
|
|
І' і 2 + |
т г ) |
|
|
|
|
||||
|
|
X ^ m / , s i n ^ s i n ^ - = 0 . |
|
||||
|
|
|
|
|
/ |
b |
|
Применим теперь |
метод |
Бубнова |
f l , 2]. Умножаем |
||||
|
|
|
|
. |
tax . |
іщ |
|
|
|
|
sin |
sin |
J-^- |
|
|
X
(4.27)
(4.27) на
(4. 28)
90
берем интеграл по поверхности панели и результат приравнива ем нулю дл я каждой пары значений i, j . В итоге получим беско нечную систему линейных алгебраических уравнений
W |
|
|
|
|
|
m2) U2 |
— и2 ) |
|
|
|
|
|
|
m—1 л = 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(У2 + |
/2 \2 |
.2/4 |
У2 \2 |
" 7 / у , |
(4.29) |
||
1 + k |
i ß |
|
Х2~ |
Х4 (/2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
Х2 |
|
|
|
||||
причем во втором слагаемом |
левой части д о л ж н ы учитываться |
||||||||
лишь те члены, для которых |
і+т |
и j + n |
нечетны. |
|
|
|
|||
Система (4.29) позволяет определить критическую комбина |
|||||||||
цию усилий N, q, X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве |
частного случая рассмотрим |
потерю |
устойчивос |
||||||
ти панели при действии только контурных |
касательных |
сил |
т. |
||||||
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т - = |
-32й2т. |
|
|
|
(4. |
30) |
|
|
|
|
Z)îl4X |
|
|
|
|
|
|
1 + *» I Р |
+ |
|
/2 N2 |
|
|
|
|
|
|
J2+- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ч |
|
І2 \2 |
|
|
|
перепишем (4. 29) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
mnW„ |
|
|
|
|
|
(4.31) |
|
~J |
jmU (І2 — /И2 ) U2 — "2) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Примем числа m, n, i, j равными |
1, 2, 3. Тогда для четных |
сумм |
|||||||
i+j получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А ц |
— |
0 |
0 |
|
о |
|
|
|
|
— т* |
А, |
1 |
г |
_9_ |
|
|
|
|
|
X |
22 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
5 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
о |
4 |
Л і з |
|
0 |
= 0. |
(4.32) |
||
|
15 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
0 |
Л.31 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
0 |
|
А.зз |
|
|
|
|
|
25 •X |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
