Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.07.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Р а с к р ы в а я определитель,

найдем

 

 

 

 

 

X

 

А 2 2 А 1 з Л 3 1 Л 3 3

(4. 33)

 

 

 

 

 

А,

 

 

 

 

 

 

 

г д е

 

 

 

 

 

 

 

А 1 = Л 1

1 Л 1 з ^ 5 Л 3 1

+ ^ Л з з ] + Л 3 1 Лзз ( 4 л 1 1 +Ал 1 з ) .

(4.34)

Д л я

нечетных сумм

/ + / имеем

аналогичную формулу

 

 

 

 

 

 

Л]2А2іА2зА3 2

(4. 35)

 

 

 

 

 

 

Ао

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

А ,

" ö l А

і 2 Л а і

+

_ 8Г А а з А з

в ^~7Ь ( Л і 2 А 2 3 + Л 2 і А 3 2 ) -

(4. 36)

 

 

Формулы (4. 33) и (4. 35) позволяют с достаточной точностью определить величину параметра критического и касательного напряжени я т*. Из двух величии, подсчитанных таким образом, нужно выбрать меньшую.

4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПАНЕЛИ, СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПО ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ КРАЯМ И ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ.

КОМБИНИРОВАННОЕ СЖАТИЕ И ДАВЛЕНИЕ

Указанную

задачу

для пологой круговой цилиндрической па­

нели при действии

равномерного

продольного

сжатия

N и внеш­

него равномерного

поперечного

давления q решим

приближен ­

но—-методом

Бубнова

[1, 2]. З а д а в а я

функцию прогиба w в фор­

ме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w = W

 

(m—1)лх

 

 

 

-

1)(т-\лх-\)лх I

. пли

(4.37)

C OS —

 

 

C O S -

 

—

 

sin —

 

и учитывая, что w с %і связаны

 

 

 

I

 

 

\

Ь

 

 

зависимостью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

W Z l

,

 

 

 

 

(4. 38)

д л я хі получим

в ы р а ж е н и е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W cos

(m

— 1) лх .

пл:у

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

sin :

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

("I-

1)2

 

1 +

k \rfi

+

(и -

I ) 2

 

 

 

 

 

X2

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, „

 

(m +

1) лх

.

/my

 

 

 

 

 

 

 

 

W cos

I

sin

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.39)

 

 

{m

+

1)2

 

 

 

 

(я»+

I ) 2

 

 

 

 

1 + k

7l2 +

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое удовлетворяет граничным условиям задачи .

92

П о д с т а в л яя (4.39) в уравнение (4.15) и ортогонализируя его к функции

 

 

C O S

(w—

1) лх

 

(т + 1)

лх

 

 

 

 

 

 

 

 

COS —

 

 

 

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Difi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„ Г

„

(m — l ) 2

 

 

 

 

 

1 - f

/!% jrt2 J K X2

 

 

 

( 1 + 8 mu

1 +

k

Il2

+

 

 

 

X2

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

*»

 

 

(m +

l ) 2

 

 

 

+

 

 

 

X2

 

(яг + l ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

/г

«2

+

(m +

1)2

/Г-

X2

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

(i2

 

( m —

1)4

 

 

(/и 4-

1)4

 

 

X4

Л2

 

( m - 1 ) 2

 

Г

(/К + 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

л2 +

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/г =

Я 2 Я 2

і а = _ 1 2 Я ( 1 - ѵ 2 )

. X

=

 

 

 

 

;

P.*

 

 

 

 

 

8 l m

=

0

при

m ф \

и 8 1 ш = 1

при

/ и = 1 .

(4.40)

(4.41)

При 9 = 0 из формулы (4.41) получим выражение дл я опре­ деления верхнего критического осевого сжатия, а при Af=0 — формулу, устанавливающую верхнюю критическую нагрузку тонкой упругой круговой цилиндрической панели при внешнем равномерном поперечном давлении q.

Из (4.41) следует формула удельной критической силы для защемленной прямоугольной трехслойной пластины при одно­ стороннем сжатии

1 + /г«

л 2 +

(т-іУ-

( я г - l ) 2

X2

 

Dn*

 

 

*2

 

 

 

2 ( m 2 +

1)

(I + 81J +

 

 

 

 

1 +

А

X2

J

X2

 

 

 

 

 

 

1

 

( m +

l ) 2

(m+

1)2

 

 

X2

 

л 2 +

 

 

 

 

 

X2

 

(4. 42)

 

 

( / И + I ) 2

2 ( я г 2 + 1)

1 +

А Л2 +

 

X2

 

 

 

 

93

И з этого выражения легко получим критическое усилие для неограниченно широкой пластины. У м н о ж а я и деля правую часть уравнения (4. 42) на к2 при А,2—.-0, имеем

N--

Dn2

1 + M ( m —

I ) 2

(да — 1)4

 

/2

1 1 ) 2

 

2 ( я г 2 +1 )

 

 

 

 

 

1 +

к& {т +

I ) 2

(т+ 1)4

(4.43)

 

1 + * ! ( m + I ) 2

2 ( « 2 + і ) j

 

 

где

 

 

 

Л2Л 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß/2

 

П р и ш = 1 формула

(4.43)

дает значение первого (наимень­

шего) критического усилия

 

 

 

 

 

 

4Dit2

1 +

4 M ,

(4.44)

 

 

/2

 

1 +

4A>!

 

 

 

 

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПАНЕЛИ С ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННЫМИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ И СВОБОДНО ОПЕРТЫМИ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ КРАЯМИ (СЖАТИЕ И ДАВЛЕНИЕ)

Н а жестко защемленных краях панели приложены равно­ мерные с ж и м а ю щ и е удельные усилия N. П о л а г а я прогиб панели равным

w= W sin : тлх

cos

< " - 1 ) j

t j /

-

c o s Г ( п +

1

)

я ^ 1

(4.45)

найдем

 

тлх

 

 

лу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W sin

 

COS (/г— 1) — —

 

 

 

 

 

те2

о Г

 

 

 

"г2

M

 

_ ( п - 1 ) 2 + - _

 

1 + * ( „ _ ! ) » + _ !

 

и/

sin

/галл

cos

(л +

Л7(/,

 

 

 

 

I

1) ——

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

(4.46)

 

 

т2 '

 

 

 

 

 

т 2

 

(п + 1)2 +

1 +

/г

(л + 1)2

+

 

 

À2

Х2

 

Используя метод

Бубнова

[1, 2], приходим

к

уравнению'

1 + . ( * - 1 ) 2 +

^

 

 

 

 

 

« 2 J

Ѵ

^ ' Х2

(1+8і«) +

1 4- к

 

 

 

 

( Л - 1 ) 2 +

Х2

 

 

 

 

 

 

 

94

 

1 +

 

( n +

1)2

+

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -Ь k

(я +

I ) 2

•

m-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"л-і

 

(1

+

»яі)

 

 

(4.47)

 

 

( « - 1)2 + :

 

 

 

(и + I ) 2 +

 

 

 

 

 

 

где

Я.2ЛЭ

 

 

12Л-> (1 _

V 2)

 

 

 

 

 

 

 

ß*2

' '

 

 

hWQni

 

 

ô l n

= 0

при и ф\\

 

8 1 я = 1

при n—\. •

И з формулы

(4. 47)

может

быть

определено минимальное

критическое

внешнее равномерное

поперечное давление (N=0),

минимальное

критическое

равномерное осевое-усилие (<7 = 0), ми­

нимальное значение критической комбинации поперечного дав­

ления q и осевого

усилия N для тонкой

упругой

круговой

ци­

линдрической

 

панели,

криволинейные

края

которой

свободно

оперты, а прямолинейные — жестко

защемлены .

 

 

 

При 9 = ц 2

= 0 из (4.47) найдем

в ы р а ж е н и е критического

уси­

лия

плоской

прямоугольной

пластины с двумя противоположны­

ми

свободно

опертыми

краями

и двумя

жестко

защемленными

равномерно сжатыми силами N краями .

 

 

 

 

 

 

 

 

6. УСТОЙЧИВОСТЬ

ПАНЕЛИ,

ЗАЩЕМЛЕННОЙ

ПО ВСЕМУ

КОНТУРУ

 

 

 

 

[СЖАТИЕ И ДАВЛЕНИЕ)

 

 

 

 

 

Наконец,

получим

формулу

для критической

 

комбинации

равномерного

осевого

усилия

N и внешнего

равномерного

попе­

речного давления

q для круговой

пологой

цилиндрической па­

нели, жестко защемленной на всех

кромках .

 

 

 

 

 

Принимая прогиб панели w в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

w = W

cos

(m — 1)

лх

 

cos

(m

+

1) пх

X

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

(n

— 1) ny

 

 

(n +

 

1 )

ли

 

 

(4.48)

 

 

cos-b

' — ^

cos - 4

;

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

для

функции %ь используя

(4.38),

находим

выражение

 

 

 

 

 

 

(/72- • 1 ) лх

 

(я -

1) лу

 

 

 

 

 

 

 

W cos

—

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

Zi =

 

 

( m - l ) 2

 

 

 

 

 

 

(m— I ) 2

 

 

( « - 1 ) 2

1 + k ^(n—

1)2

 

 

 

X2

 

+

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W cos

( m —

1)

лх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

„

{m — 1)2 12 Г

/

 

 

(щ

 

 

1)2

 

 

 

( я +

1 ) 2 +

X 2

[ l +

к \{n+

\ ) 2

+

~

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

(m

+ 1) ял-

 

(Л —

1)

пу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

—

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

„

(m

+

1)2

1 + Ä (И - 1)2 +

(т+

 

1)2

 

 

[ ^ ( « - 1 ) 2 +

 

Х2

 

 

Х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и/ cos

 

( « + 1 ) я л -

 

( л + 1 ) Я ( /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

;

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.49)

 

( r t + l ) 2 +

 

—

 

1 + А I (n + 1)2 + •

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х2

L

 

V

 

Х

 

2

 

 

П о д с т а в л я я (4.49)

в

уравнение

(4.15)

и

ортогонализнруя ре­

зультат к функции (4.48),

т. е. используя

метод

Бубнова i[l, 2],

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

262

N (2 +

8Я 1 ) - ^ ± 1

- f

qR (2 +

Ка) № + 1 ) ] =

 

 

 

 

 

 

£>я2

 

 

 

 

Х2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

и

 

( Л - 1 ) 2

( m - 1 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

( r t . - l ) 2 + ( Ш - 1)2 ' ( 1 + 8 я й ) ( 1 + 8 я 1 ) +

1 + k ( л - 1 ) 2 + ( m - 1 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 8/г

 

 

 

1)2

( m +

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

+

 

Х2

 

 

 

 

( / л +

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

Я -

I ) 2 -

 

 

 

 

 

 

 

+ (т+

 

1)2

 

 

 

 

 

 

1 + / г

 

( л - 1 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + U ( л + 1)2 + ( « - I ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х2

 

 

 

 

 

 

 

 

( l + 8 „ i ) +

1 +

 

k

 

 

 

 

, ( m - 1 ) 2

 

1

1 ' ~

 

X2

 

 

 

 

 

( " +

I ) 2

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + Ьі

( 1 + 1 ) 2

+

(m +

1)2

 

 

 

 

 

 

 

+

X2

 

:« + 1 ) :2 |

(Д + l ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + k ( Л + 1)2 +

(m + 1)2

 

 

 

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

It? f ( m - l ) 4 ( l

+

S m l ) ( l

+

8Д 1 )

,

(И -

1)4 (1

+

»ml)

1

1 Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(m —

1)2

 

X4

 

 

 

( Л - 1 ) 2

 

+

(m — 1)2

12

(л +

l ) 2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

(m

+

1)4 (1

+

Bn l )

 

 

 

(m +

1)4

 

 

(4.50)

 

 

 

 

 

 

 

 

(ОТ + 1)2

--12

 

 

 

(m +

1)2

 

 

 

 

( я - 1 ) 2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

(Л + I ) 2 +

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se2

 

 

 

Л2/?2ѲЛ4

 

 

 

ô

 

(4.51)

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j = 0

при

тфі;

 

8 l m = l

при

 

 

m=l;

 

 

 

 

 

, =

0

при

пф\\

 

8 1 л = 1

при

 

и = 1 .

96

Смотрите также файлы