Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

П о л а г а я в формуле (4.50)

| i 2 = 0,

q = 0, найдем

выражение

для критического сжимающего

усилия

трехслойной

защемлен ­

Г л а в а 5

ПОЛУБЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ КРУГОВЫХ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

Уравнения устойчивости, полученные в гл. 2 и использован­

ные для исследования устойчивости

цилиндрических оболочек,

пригодны только в том случае, когда

по крайней мере при поте­

кие оболочки

полубезмоментную теорию,

предложенную для

однослойных

оболочек

В. 3. Власовым [3—5], см. т а к ж е [24, 25,

26]. В этой теории принимаются следующие

гипотезы.

Продольные изгибающие и крутящие

моменты

считаются

равными нулю. Линейные деформации в поперечном

направле­

нии и сдвиг

исходной

поверхности отсутствуют. Коэффициент

Пуассона полагается

равным нулю. Д л я трехслойной

оболочки,

нему, X — координата

вдоль образующей, s — координата

по ду­

ге поперечного круга;

R — радиус исходной

поверхности

оболоч­

ки, Njj — полные удельные тангенциальные

усилия; Q2—

полная

удельная поперечная

сила; Q 2 3 — ; у д е л ь н а я

поперечная

сила,

ющие и крутящие моменты;

— обобщенные изгибающие и

крутящие моменты; ри р2, q—внешние

тангенциальные и нор­

ной выше постановки в

удельных

усилиях и моментах будут

иметь вид

dNl2

(5. 1)

дх

ds =

— л ;

dNl2

dN22

(5.2)

дх

ds

ds

N

— — •

(5. 3)

2 3

/г ~

<Уа = д.\кп

(5.4)

3

дИ-у

(5. 5)

ds

Перемещения. Тангенциальные перемещения точек заполни­

теля в соответствии с принятыми

гипотезами будут

( — с ^ г ^ с )

dw

дх

(5.6)

d'ss

ds

Тангенциальные перемещения точек первого несущего слоя

равны ( с ^ г ^ с + Л))

dw

it\ — ux

— z

дх

(5.7)

dw '

" f

=

«2 +

« 4 Т ~

"ds,

а второго

несущего

слоя

( — с — Л ^ г ^

-с)

имеют

вид

u\ =

ux

dw

из

dw \

(5.8)

щ = и2— ca2 -f-;

( R

ds

В этих

формулах

ai — угол

поперечного

сдвига

заполнителя

в направлении, перпендикулярном к образующей

цилиндричес­

кой оболочки.

Д е ф о р м а ц и я .

Обозначая

составляющие

деформации, углы

поворота и кривизну

через

dui

,

діі'2 j_

w

duidu\

I du2

дх

ds

R

ds

dx

да2

(5.9)

а 22 — "т^ 1 •>'

ds

'•11-

d?w

1 дао d-w

1

du2

âx?

'

"2 2

~R~ äsTs

ds? '

"

R

dx

dxds '

найдем соответственно

линейные

относительные

деформации

для первого, второго несущих

слоев

и

заполнителя

:еП~\~

~/шП'

E22

^22~ЬСа 22~Г~'г '< 22>

е 1!

еп ~T"Z X 11'

S22

^22

C C f 22 ~f"ZyW>

(5. 10)

£11 —eU

\~ ZHli

E22=

^22 ~f"Z(122 ~\~ZV22-

Д е ф о р м а ц и я поперечного сдвига заполнителя

"23-3 =

а„

(5.11)

Условие

нерастяжимости

поперечного

сечения

дает

ет

=—-^--Ь — = и.

(5.12)

âs

R

отсюда

р

âa2 .

Я

J*_+

J _ J L \

(5.13)

А

—— ,

' о , -

dss

1

R

ds I

*

к

'

Уравнение

равновесия. Уравнения

(5. 1) — (5.4)

сведем

к од­

ному уравнению, исключая Л'і2 , N22, Qi,

d*Nn

(5. 14)

дх*

Здесь Q — дифференциальный

оператор

ds*

R

ds* '

(5.15)

1

P — функция,

з а в и с я щ а я от внешней

поверхности

нагрузки,

п

д*

, д

à

(5.16)

Напряжения. Согласно закону Гука

при равных

нулю

коэф­

фициентах Пуассона

н а п р я ж е н и я в слоях

равны

0 і = Е1 (еи + zv.u );

о8 і =

Ег

(са 2 2

- f z-/.22);

о^ = Е2

{еп

+

гхц);

ав» =

£ 2

( -

г а 2 2

- f zx2 2 );

а

і

3

= +

zy-n)

! а г 3

= ( z a w

- f zx2 2 ) ;

j

}

(5- 17)

a 2 3 =

G (

V

J

Удельные усилия. Введем удельные усилия и удельные мо­

менты

слоев:

Nlu--

с+Л,

-с—hi

—с

c+lh

с

—c—hi

—c

I

So

М\2 =

c+ft,

'

o2lzdz;

МІ2=

j

o^zdz;

МІ2 =

a23zdz;

-C—h;

Полное тангенциальное удельное усилие

Nn

= Nn-\-j\'u-\r

Nn

=

Е/геп

+

^

(5. 19)

Полный

поперечный

удельный

изгибающий

момент

имеет вид

У И 2 2 =

Ж , \ 4 -

Ж І 2 + У И 2 2 = = ^ - [іѲ1 -г -Ѳа )аз я +

(Ѳ1

+ 2 Ѳ 2 + Ѳ 8 ) у 2 2 ] .

(5. 20)

Обобщенный

момент

Я м = М\2

- f cNl

- с / Ѵ и =

[Ѳх а2 2

- f (0, - j - Ѳ2) х 2 2 ],

(5.21)

где

Ѳ і = Ч ( 3 Y i + З ѵ з + Y s ) ;

«2 =

з / 3

+ Y 2 4 ) ;

(5. 22)

в з = = 4 ( ѵ 1 ^ + ѵ Л в ) ; . '

tk=hbh-l.

15. 23)

Заметим,

что введенные

здесь

параметры

О ь

ö 2»

9з

незначи­

тельно

отличаются

от соответствующих

параметров

теории по­

логих оболочек, для оболочек симметричной структуры

они сов­

падают.

Функция перемещений. Уравнение равновесия

(5. 5)

в

пере­

мещениях имеет вид:

~~Г2~

ö s 2 1

v 1 1 - \ ds2

'

ds-i j

R

=

Gh3a2.

(5. 24)

1

£ 0,

(5. 26)

В соответствии с (5. 13) прогиб и

изменение кривизны кольце­

вого сечения через ч|з выразятся в

виде

ß

U

ds2)

(5.27)

2 -

ÖS V

ÖS2 Д

ß

ds2 ' '