Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

äs

(5.

28)

получим

•W •-

1

h 2

д'2

\ .

а, — —

6

h

Л2

д

à4-

,

1

ß

ds

\ ös 2

У?2

<32

1 — L \

/ 1 _

Ü

(5.29)

Л>2

1

#2

[

3

Ö52

22 •

02

*Ä2

02

S

2

1

£2 У l

p

S

Л

\Ô

Ô2 /

Q a = - £ > — ( — + — ) ( 1

9 A2

Jß_

где

ß

ÔS2

/ ; = ^ Ѳ ;

Ѳ = Ѳ і - | - 2 Ѳ 3 +

Ѳ3;.

_ в , В 3 09- В 2 2

(5. 30)

Теперь уравнение (5. 14) запишется в виде

ÖA-2

DR —

(—-\-—)2

( l

- 1*1

Х =

„ .

(5.31)

ÔS2 V ÔS2 ^ /?2 j

\

p

d

s 2 I

'

^

-1

Уравнение совместности. Второе уравнение получим, исклю­

чая

из

первых трех

и шестого

соотношения

(5. 9)

перемещение

и2

d2*22

I

^ С»2

/ 02

:0.

d * 2

ds2

\ ds-

dxds

\

ds'

ds2dx°-

(5.

32)

3197

101

елл

=

Nu

,

h

dß

1 —

(5. 36)

—— А

с,„ • —

O S 2

1 1

Eh

1

2 1 м

<Эл-2

ß

П о д с т а в л я я

(5. 36) в уравнение

(5. 34),

найдем

Eh

д2

Я Л

d 2

1

Л 2

02

(5.37)

ds2

~7Г

дх2

ÖS2

-

ß

U S 2

Р а з р е ш а ю щ е е

уравнение.

Исключая

из

уравнений

(5.31)

и

(5.37) Nu,

придем к

р а з р е ш а ю щ е м у

уравнению

относительно X

DR

ді

(

д2

- ^ ) X 4 -

ds*

R2

\ à s 2

ß

ds2 '

~

Eh

<J4

Rh

д2

_да

_ ô 2 _

Х =

02

(5.38)

R

дх*

ÔS2

ß

Ös2

ітР,

Ö S 2

HO

„

JM_ д°-у.

поэтому

(5. 38)

приводится к следующему

виду:

D

04

02

ЭА2

f?2

<9s4

\ds'<

R2

ß

d s 2

Eh

Ji_

да_

_Ö2_

(5.

39)

+" Ж Эх4 ~

ß

G>S2

' ~

Я

Ô S 2

^

X

где функция

р,

определяемая

поверхностными

нагрузками

на

оболочку, находится из (5.16).

Уравнение устойчивости

найдем,

принимая

в

качестве

по­

верхностной

нагрузки

дх2

dx2

dsdx

L

du2\

I

4

R

дх

j

+

№i2

f d 2

w

(5.40)

,ds2

'

R2

П о д с т а в л я я

(5.40)

в

уравнение

(5.39),

получим

д2

,

1_\2

_d*_ ^

Eh

94

\

ß

ds2

Ö S 2

~ ^ Ä 2 j

as*

X"

Я 2

<3xi

ß

ds2)*-

Mi

04

0 x 2

ÔS2

\

f 3 s 2

Я

2

/

ds^dx \ds

2

'

Я

2

/

â s 2

1

1

да_

_ â 2 _ ) х = о .

(5.41)

<?S4 ( f)S 2

Я 2

У

ÔS2

Перейдем к рассмотрению частных

задач .

2.

УСТОЙЧИВОСТЬ

УДЛИНЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

ПРИ

ОСЕВОМ СЖАТИИ

П о л а г а я в уравнении

(5.41)

7V?

N;

ЛГ°2 =

0;

N°u =

ù

(5.42)

' и

у =

y n

. ѵ ткх

•

ns

(5.43)

snl

Sin

—

(R—

радиус;

/ — длина

оболочки;

m — число

продольных

полу­

волн;

п — число окружных

волн), найдем критическое равномер ­

ное удельное

с ж и м а ю щ е е

усилие трехслойной круговой цилинд­

рической оболочки

,

п2

N--

Du2

^

П2

( н 2 — 1)2

„2X2

fj.2/n2JT4

,

(5.44)

R2

II*

( « 2 + 1 )

m?Ki

X 2 ( « 2 + 1 ) л 2

1 +

k

Я2

Ni2=—gR.

(5. 50)

Остальные усилия равны нулю

Nu = Ni2 = Q.

(5.51)

Принимая в (5.41) функцию

% в виде

(2т, п — соответственно

число продольных и окружных

волн; %о = const)

1 +

.Т[2

« 2 _ 1

(5.

53)

А«2

Л2

Х'1

7Z'l(/î2— 1)

где

Я2Л2

12/?2

I

1=

(5. 54)

ß#2

Д2Л 40

'

%

И з (5.53)

следует, что минимум достигается при m = ' l ,

формула

для q приобретает вид

Д л 2 1 + •_ J t 2 ^

, м-2

дб

(5. 55)

An.2

X

Х4

И 4 ( н 2 _ 1 )

1

Минимизируя это выражение

при

целонсчисленных

значениях

параметра

волнообразования

п, найдем величину критического

давления

q*.

при пф 1

Д л я весьма длинных оболочек

.второе

слагаемое

пренебрежимо мало, поэтому

0- =

£ > я2

я 2 + »/гл2 / г 2 — 1

_

.

,

(5.56)

откуда следует,

что минимальное значение критического давле­

ния достигается

при п=2, а

значение

3D

я 2 +

Ш

(5.57)

q- =

- 9?

я 2 +

4/г

Оя2

я<>

(5.58)

я-

Л''

(«2 — 1 )

д*

3D

(5.59)

-qR- №1S

=

0.

(5. 60)

Принимая, как и ранее, функцию % в форме

mux .

ns

(5.61)

у =

-/

sill

Sin

L

/ 0

l

R

(m — число

продольных

полуволн, n — число

окружных волн;

Xo= = oonst) и вводя ее в уравнение (5.41), найдем

выражение дл я

критического

внешнего

.всестороннего

равномерного

давления

трехслойной

круговой

цилиндрической

оболочки

Un2

£>я2

( » 2 - 1 ) 2

ft/j2

/_лг2_ |

д2 —

я4

,2X2 +

Л 2

Х4

(5.62)

1

н4

2X2

из

которого

следует,

что

минимального значения q

достигает

при

т—\

Г

Ш2

Ря?

'

1 +

7Г

( Л 2 _ 1 ) 2

1 + •

я- + п2 — 1 я-

Я1

2X2

+Х4

яб

(5. 63)

/ я-